a)

Wiemy, że:

$\sin \alpha =\frac{2}{5}$

Aby wyznaczyć $\cos \alpha$, korzystamy z jedynki trygonometrycznej:

${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$

${\left(\frac{2}{5}\right)}^2+{\cos }^2\alpha =1$

$\frac{4}{25}+{\cos }^2\alpha =1$

${\cos }^2\alpha =1-\frac{4}{25}$

${\cos }^2\alpha =\frac{21}{25}$

Wartości funkcji trygonometrycznych kąta ostrego są dodatnie, więc:

$\cos \alpha =\sqrt{\frac{21}{25}}$

$\cos \alpha =\boxed{\frac{\sqrt{21}}{5}}$

---

Aby wyznaczyć $\mathrm{tg}\alpha$, korzystamy z zależności:

$\mathrm{tg}\alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }$

Otrzymujemy, że:

$\mathrm{tg}\alpha =\frac{\frac{2}{5}}{\frac{\sqrt{21}}{5}}=\frac{2}{{\cancel{5}}_1}\cdot \frac{{\cancel{5}}^1}{\sqrt{21}}=\frac{2}{\sqrt{21}}=\frac{2}{\sqrt{21}}\cdot \frac{\sqrt{21}}{\sqrt{21}}=\boxed{\frac{2\sqrt{21}}{21}}$

---

---

b)

Wiemy, że:

$\cos \alpha =\frac{\sqrt{2}}{3}$

Aby wyznaczyć $\sin \alpha$, korzystamy z jedynki trygonometrycznej:

${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$

${\sin }^2\alpha +{\left(\frac{\sqrt{2}}{3}\right)}^2=1$

${\sin }^2\alpha +\frac{2}{9}=1$

${\sin }^2\alpha =1-\frac{2}{9}$

${\sin }^2\alpha =\frac{7}{9}$

Wartości funkcji trygonometrycznych kąta ostrego są dodatnie, więc:

$\sin \alpha =\sqrt{\frac{7}{9}}$

$\sin \alpha =\boxed{\frac{\sqrt{7}}{3}}$

---

Aby wyznaczyć $\mathrm{tg}\alpha$, korzystamy z zależności:

$\mathrm{tg}\alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }$

Otrzymujemy, że:

$\mathrm{tg}\alpha =\frac{\frac{\sqrt{7}}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{3}}=\frac{\sqrt{7}}{{\cancel{3}}_1}\cdot \frac{{\cancel{3}}^1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{2}}\cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=\boxed{\frac{\sqrt{14}}{2}}$

---

---

c)

Wiemy, że:

$\mathrm{tg}\alpha =3$

Korzystamy z zależności:

$\mathrm{tg}\alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }$

Czyli:

$\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=3|\cdot \cos \alpha$

$\sin \alpha =3\cos \alpha (\star )$

Korzystamy z jedynki trygonometrycznej:

${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$

${\left(3\cos \alpha \right)}^2+{\cos }^2\alpha =1$

$9{\cos }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$

$10{\cos }^2\alpha =1|:10$

${\cos }^2\alpha =\frac{1}{10}$

Wartości funkcji trygonometrycznych kąta ostrego są dodatnie, więc:

$\cos \alpha =\sqrt{\frac{1}{10}}$

$\cos \alpha =\frac{1}{\sqrt{10}}$

$\cos \alpha =\boxed{\frac{\sqrt{10}}{10}}$

Podstawiamy obliczoną wartość do $(\star )$ i otrzymujemy, że:

$\sin \alpha =3\cdot \frac{\sqrt{10}}{10}=\boxed{\frac{3\sqrt{10}}{10}}$