a)

Dany jest wielomian $w$ określony wzorem:

$w\left(x\right)=\left(x+3\right)\left(x+1\right){\left(x-2\right)}^2$  

Pierwiastkami wielomianu są liczby: $-3$, $-1$ oraz $2$.

Liczba $2$ jest pierwiastkiem dwukrotnym, a liczby $-3$ i $-1$ - pierwiastkami jednokrotnymi, więc dla $x=-3$ oraz $x=-1$ wielomian zmienia znak, a dla $x=2$ wielomian nie zmienia znaku (wykres "odbija" się od osi $x$).

Współczynnik przy najwyższej potędze zmiennej $x$ jest dodatni, więc wykres wielomianu zaczynamy rysować od prawej strony od góry.

Poniżej znajduje się naszkicowany wykres wielomianu $w$:

---

b)

Dany jest wielomian $w$ określony wzorem:

$w\left(x\right)=2x^2{\left(x-3\right)}^2$  

Pierwiastkami wielomianu są liczby: $0$ i $3$.

 Liczby $0$ i $3$ są pierwiastkami dwukrotnymi, więc dla $x=0$ oraz $x=3$ wielomian nie zmienia znaku (wykres "odbija" się od osi $x$).

Współczynnik przy najwyższej potędze zmiennej $x$ jest dodatni, więc wykres wielomianu zaczynamy rysować od prawej strony od góry.

Poniżej znajduje się naszkicowany wykres wielomianu $w$:

---

c)

Dany jest wielomian $w$ określony wzorem:

$w\left(x\right)=-3x^2\left(x+4\right)\left(x-1\right)$  

Pierwiastkami wielomianu są liczby: $-4$, $0$ i $1$.

Liczba $0$ jest pierwiastkiem dwukrotnym, a liczby $-4$ i $1$ - pierwiastkami jednokrotnymi, więc dla $x=-4$ oraz $x=1$ wielomian zmienia znak, a dla $x=0$ wielomian nie zmienia znaku (wykres "odbija" się od osi $x$).

Współczynnik przy najwyższej potędze zmiennej $x$ jest ujemny, więc wykres wielomianu zaczynamy rysować od prawej strony od dołu.

Poniżej znajduje się naszkicowany wykres wielomianu $w$:

---

d)

Dany jest wielomian $w$ określony wzorem:

$w\left(x\right)=-\left(x+2\right)\left(x-1\right)\left(2x^2-8\right)$

Przekształćmy ten wzór:

$w\left(x\right)=-\left(x+2\right)\left(x-1\right)\left(2x^2-8\right)=$

$=-\left(x+2\right)\left(x-1\right)\cdot 2\left(x^2-4\right)=$

Korzystając ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów mamy:

$=-2\left(x+2\right)\left(x-1\right)\cdot \left(x-2\right)\left(x+2\right)=$

$=-2{\left(x+2\right)}^2\left(x-1\right)\left(x-2\right)$

Pierwiastkami wielomianu są liczby: $-2$, $1$ i $2$

Liczba $-2$ jest pierwiastkiem dwukrotnym, a liczby $1$ i $2$ - pierwiastkami jednokrotnymi, więc dla $x=1$ oraz $x=2$ wielomian zmienia znak, a dla $x=-2$ wielomian nie zmienia znaku (wykres "odbija" się od osi $x$).

Współczynnik przy najwyższej potędze zmiennej $x$ jest ujemny, więc wykres wielomianu zaczynamy rysować od prawej strony od dołu.

Poniżej znajduje się naszkicowany wykres wielomianu $w$: