a)

Zaczynamy od rozkładu wielomianu $w$ na czynniki:

$w\left(x\right)=\left(x-2\right)\left(x^2-4\right)=\left(x-2\right)\left(x-2\right)\left(x+2\right)=$

$={\left(x-2\right)}^2\left(x+2\right)$

W rozkładzie wielomianu $w$ na czynniki występuje ${\left(x-2\right)}^2$ i nie występuje ${\left(x-2\right)}^3$, więc liczba $2$ jest pierwiastkiem dwukrotnym wielomianu $w$.

---

b)

Zaczynamy od rozkładu wielomianu $w$ na czynniki:

$w\left(x\right)={\left(x-2\right)}^2\left(x^2-x-2\right)$

Obliczamy pierwiastki trójmianu $x^2-x-2$:

$\Delta ={\left(-1\right)}^2-4\cdot 1\cdot \left(-2\right)=1+8=9,\sqrt{\Delta }=3$

$x_1=\frac{1-3}{2}=\frac{-2}{2}=-1$

$x_2=\frac{1+3}{2}=\frac{4}{2}=2$

Zatem:

$x^2-x-2=\left(x+1\right)\left(x-2\right)$

I stąd:

$w\left(x\right)={\left(x-2\right)}^2\left(x^2-x-2\right)={\left(x-2\right)}^2\left(x+1\right)\left(x-2\right)=$

$={\left(x-2\right)}^3\left(x+1\right)$  

W rozkładzie wielomianu $w$ na czynniki występuje ${\left(x-2\right)}^3$, a więc liczba $2$ nie jest pierwiastkiem dwukrotnym wielomianu $w$, bo jest pierwiastkiem trzykrotnym.