Aby rozwiązać podane równania zaczniemy od rozkładu wielomianu na czynniki, a do tego wykorzystamy metodę grupowania wyrazów.

---

a) 

Rozwiązujemy równanie:

$x^3-9x^2+2x-18=0$

$x^2\left(x-9\right)+2\left(x-9\right)=0$

$\left(x-9\right)\left(x^2+2\right)=0$

$\begin{array}{ccc}x-9=0& \text{lub}& x^2+2=0\\ x=9& & x^2=-2\\ & & \text{roˊwnanie sprzeczne,}\\ & & \text{bo}{x}^2\ge 0\end{array}$

Zatem jedynym rozwiązaniem równania jest liczba $9$.

---

b) 

Rozwiązujemy równanie:

$\text{2}{x}^3+x^2-8x-4=0$

$x^2\left(2x+1\right)-4\left(2x+1\right)=0$

$\left(2x+1\right)\left(x^2-4\right)=0$

$\begin{array}{ccc}2x+1=0& \text{lub}& x^2-4=0\\ 2x=-1|:2& & x^2=4\\ x=-\frac{1}{2}& & x=2\text{lub}x=-2\end{array}$

Zatem:

$x\in \left\{-2,-\frac{1}{2},2\right\}$

---

c) 

Rozwiązujemy równanie:

$x^5+5x^4+x^3+5x^2=0$

$x^2\left(x^3+5x^2+x+5\right)=0$

$x^2\left[x^2\left(x+5\right)+\left(x+5\right)\right]=0$

$x^2\left(x+5\right)\left(x^2+1\right)=0$

$\begin{array}{ccccc}{x}^2=0& \text{lub}& x+5=0& \text{lub}& x^2+1=0\\ x=0& & x=-5& & x^2=-1\\ & & & & \text{roˊwnanie sprzeczne,}\\ & & & & \text{bo}{x}^2\ge 0\end{array}$

Zatem:

$x\in \left\{-5,0\right\}$

---

d) 

Rozwiązujemy równanie:

$3x^4-5x^3-6x^2+10x=0$

$x\left(3x^3-5x^2-6x+10\right)=0$  

$x\left[x^2\left(3x-5\right)-2\left(3x-5\right)\right]=0$  

$x\left(3x-5\right)\left(x^2-2\right)=0$  

$\begin{array}{ccccc}x=0& \text{lub}& 3x-5=0& \text{lub}& x^2-2=0\\ x=0& & 3x=5|:3& & x^2=2\\ x=0& & x=\frac{5}{3}& & x=\sqrt{2}\text{lub}x=-\sqrt{2}\end{array}$

Zatem:

$x\in \left\{-\sqrt{2},0,\sqrt{2},\frac{5}{3}\right\}$

---

e) 

Rozwiązujemy równanie:

$x^5-4x^3-8x^2+32=0$

$x^3\left(x^2-4\right)-8\left(x^2-4\right)=0$

$\left(x^2-4\right)\left(x^3-8\right)=0$

$\begin{array}{ccc}{x}^2-4=0& \text{lub}& x^3-8=0\\ x^2=4& & x^3=8\\ x=2\text{lub}x=-2& & x=2\end{array}$

Zatem:

$x\in \left\{-2,2\right\}$

---

f) 

Rozwiązujemy równanie:

$x^3-3\sqrt{2}{x}^2+\sqrt{2}x-6=0$

$x^3-3\sqrt{2}{x}^2+\sqrt{2}x-\sqrt{2}\cdot 3\sqrt{2}=0$

$x^2\left(x-3\sqrt{2}\right)+\sqrt{2}\left(x-3\sqrt{2}\right)=0$

$\left(x-3\sqrt{2}\right)\left(x^2+\sqrt{2}\right)=0$

$\begin{array}{ccc}x-3\sqrt{2}=0& \text{lub}& x^2+\sqrt{2}=0\\ x=3\sqrt{2}& & x^2=-\sqrt{2}\\ & & \text{roˊwnanie sprzeczne,}\\ & & \text{bo}{x}^2\ge 0\end{array}$ 

Zatem jedynym rozwiązaniem równania jest liczba $3\sqrt{2}$.