Aby rozłożyć podane wielomiany na czynniki, wyłączymy wspólny czynnik przed nawias. W przypadku pojawienia się w rozkładzie czynnika stopnia drugiego, pokażemy, że nie można go rozłożyć na czynniki stopnia pierwszego.

---

a)

$w\left(x\right)=3x^3+12x=3x\left(x^2+4\right)$

Czynnik tego iloczynu postaci $x^2+4$ jest nierozkładalny, ponieważ dla $x\in \mathbb{R}$:

$x^2+4>0$  

---

b)

$w\left(x\right)=\frac{1}{4}{x}^6+\frac{3}{4}{x}^4=\frac{1}{4}{x}^4\cdot \left(x^2+3\right)$

Czynnik tego iloczynu postaci $x^2+3$ jest nierozkładalny, ponieważ dla $x\in \mathbb{R}$:

$x^2+3>0$

---

c)

$w\left(x\right)=-6x^5-42x^3=-6x^3\left(x^2+7\right)$

Czynnik tego iloczynu postaci $x^2+7$  jest nierozkładalny, ponieważ dla $x\in \mathbb{R}$:

$x^2+7>0$

---

d)

$w\left(x\right)=-\sqrt{2}{x}^7-\sqrt{6}{x}^5=-\sqrt{2}{x}^5\left(x^2+\sqrt{3}\right)$

Czynnik tego iloczynu postaci $x^2+\sqrt{3}$ jest nierozkładalny, ponieważ dla $x\in \mathbb{R}$:

$x^2+\sqrt{3}>0$

---

e)

$w\left(x\right)=7x^{11}-5x^{10}+x^9=x^9\left(7x^2-5x+1\right)$

Trójmian $7x^2-5x+1$ jest nierozkładalny, ponieważ:

$\Delta ={\left(-5\right)}^2-4\cdot 7\cdot 1=25-28=-3<0$

---

f)

$w\left(x\right)=\frac{1}{4}{x}^6+x^5+2x^4=x^4\left(\frac{1}{4}{x}^2+x+2\right)$

Trójmian $\frac{1}{4}{x}^2+x+2$   jest nierozkładalny, ponieważ:

$\Delta =1^2-4\cdot \frac{1}{4}\cdot 2=\frac{1}{2}=-1<0$  

---

g)

$w\left(x\right)=-4x^5+3x^4-7x^3=-x^3\left(4x^2-3x+7\right)$

Trójmian $4x^2-3x+7$ jest nierozkładalny, ponieważ:

$\Delta ={\left(-3\right)}^2-4\cdot 4\cdot 7=9-112=-103<0$  

---

h)

$w\left(x\right)=3\sqrt{2}{x}^5-2\sqrt{3}{x}^4+\sqrt{6}{x}^3=$

$=x^3\left(3\sqrt{2}{x}^2-2\sqrt{3}x+\sqrt{6}\right)$  

Trójmian  $3\sqrt{2}{x}^2-2\sqrt{3}x+\sqrt{6}$  jest nierozkładalny, ponieważ:

$\Delta ={\left(-2\sqrt{3}\right)}^2-4\cdot 3\sqrt{2}\cdot \sqrt{6}=$

$=4\cdot 3-12\sqrt{1}2=12-12\sqrt{1}2=$

$=12-12\cdot 2\sqrt{3}=12-24\sqrt{3}<0$