Mamy udowodnić, że dla $a,x,y>0$ i $a\ne 1$ zachodzi równość:

${\log }_{a}x-{\log }_{a}y={\log }_a\frac{x}{y}$

Załóżmy, że:

${\log }_{a}x=p$

oraz

${\log }_{a}y=q$

Korzystając z definicji logarytmu możemy zapisać:

$a^p=x$  i  $a^q=y$

Wtedy:

$\frac{x}{y}=\frac{a^p}{a^q}=a^{p-q}$

Zatem

${\log }_a\frac{x}{y}=p-q$

czyli

${\log }_a\frac{x}{y}={\log }_{a}x-{\log }_{a}y$

A to mieliśmy udowodnić.