a)

Wykonamy dowód nie wprost.

Załóżmy, że liczba ${\log }_{2}5$ jest liczbą wymierną. W takim razie możemy ją zapisać w postaci:

${\log }_{2}5=\frac{m}{n}$

Gdzie $m$ i $n$ to liczby naturalne oraz $n\ne 0$. 

Możemy więc zapisać:

$2^{\frac{m}{n}}=5|({)}^n$

$2^m=5^n$

Zauważmy, że otrzymaliśmy sprzeczność, ponieważ liczba $2^m$ jest parzysta, a $5^n$ jest nieparzysta.

W związku z tym nieprawdziwe jest założenie, że liczba ${\log }_{2}5$ jest wymierna. Wynika z tego, że jest to liczba niewymierna, co należało uzasadnić.

---

b)

Wykonamy dowód nie wprost.

Załóżmy, że liczba ${\log }_{3}5$ jest liczbą wymierną. W takim razie możemy ją zapisać w postaci:

${\log }_{3}5=\frac{m}{n}$

Gdzie $m$ i $n$ to liczby naturalne oraz $n\ne 0$. 

Możemy więc zapisać:

$3^{\frac{m}{n}}=5|({)}^n$

$3^m=5^n$

Zauważmy, że otrzymaliśmy sprzeczność, ponieważ liczba $5{}^n$ jest podzielna przez $5$, a liczba $3{}^m$ nie jest podzielna przez $5$ (żadna naturalna potęga trójki nie jest podzielna przez $5$).

W związku z tym nieprawdziwe jest założenie, że liczba ${\log }_{3}5$ jest wymierna. Wynika z tego, że jest to liczba niewymierna, co należało uzasadnić.

---

c)

Wykonamy dowód nie wprost.

Załóżmy, że liczba ${\log }_{2}6$ jest liczbą wymierną. W takim razie możemy ją zapisać w postaci:

${\log }_{2}6=\frac{m}{n}$

Gdzie $m$ i $n$ to liczby naturalne oraz $n\ne 0$. 

Możemy więc zapisać:

$2^{\frac{m}{n}}=6|({)}^n$

$2^m=6^n$

$2^m={\left(2\cdot 3\right)}^n$

$2^m=2^n\cdot 3^n$

Zauważmy, że otrzymaliśmy sprzeczność, ponieważ prawa strona równości jest podzielna przez $3$, a lewa strona równania nie jest podzielna przez $3$.

W związku z tym nieprawdziwe jest założenie, że liczba ${\log }_{2}6$ jest wymierna. Wynika z tego, że jest to liczba niewymierna, co należało uzasadnić.

---

d)

Wykonamy dowód nie wprost.

Załóżmy, że liczba ${\log }_{6}2$ jest liczbą wymierną. W takim razie możemy ją zapisać w postaci:

${\log }_{6}2=\frac{m}{n}$

Gdzie $m$ i $n$ to liczby naturalne oraz $n\ne 0$. 

Możemy więc zapisać:

$6^{\frac{m}{n}}=2|({)}^n$

$6^m=2^n$

${\left(2\cdot 3\right)}^m=2^n$

$2^m\cdot 3^m=2^n$

Zauważmy, że otrzymaliśmy sprzeczność, ponieważ lewa strona równości jest podzielna przez $3$, a prawa strona równania nie jest podzielna przez $3$.

W związku z tym nieprawdziwe jest założenie, że liczba ${\log }_{6}2$ jest wymierna. Wynika z tego, że jest to liczba niewymierna, co należało uzasadnić.