Weźmy trójkąt prostokątny o przyprostokątnych długości $a$, $b$ i przeciwprostokątnej długości $c$.

Zapiszmy długości promieni okręgu wpisanego i opisanego:

$r=\frac{2P}{a+b+c}=\frac{2\cdot \frac{1}{2}\cdot a\cdot b}{a+b+c}=\frac{ab}{a+b+c}$

$R=\frac{1}{2}c$

Chcemy pokazać, że:

$a+b=2\cdot \frac{ab}{a+b+c}+2\cdot \frac{1}{2}c$

$a+b=\frac{2ab}{a+b+c}+c|\cdot \left(a+b+c\right)$

$\left(a+b\right)\left(a+b+c\right)=2ab+c\left(a+b+c\right)$

$a^2+ab+ac+ab+b^2+bc=2ab+ac+bc+c^2|-2ab-ac-bc$

$a^2+b^2=c^2$  

Jest to równość z twierdzenia Pitagorasa, więc powyższe równanie jest spełnione dla każdego trójkąta prostokątnego.