Oznaczmy: $\left|\sphericalangle PBC\right|=\alpha$ .

Zauważmy, że $\left|\sphericalangle AOC\right|=2\alpha$, ponieważ jest to kąt środkowy oparty na takim samym łuku co kąt wpisany $PBC$.

W trójkącie równoramiennym $ACO$ kąty przy podstawie mają równej miary:

$\left|\sphericalangle CAO\right|=\left|\sphericalangle OCA\right|=\beta$

Zauważmy, że suma miar kątów w trójkącie wynosi $180^{\circ }$, więc:

$2\alpha +2\beta =180^{\circ }|:2$

$\alpha +\beta =90^{\circ }$

$\beta =90^{\circ }-\alpha$

Wiemy, że $\left|\sphericalangle OCP\right|=90^{\circ }$, ponieważ jest to kąt między styczną a promieniem.

$\left|\sphericalangle OCP\right|=\left|\sphericalangle OCA\right|+\left|\sphericalangle ACP\right|$  

$90^{\circ }=\beta +\left|\sphericalangle ACP\right|$  

$\left|\sphericalangle ACP\right|=90^{\circ }-\beta$

$\left|\sphericalangle ACP\right|=90^{\circ }-\left(90^{\circ }-\alpha \right)$

$\left|\sphericalangle ACP\right|=\alpha$

---

Zauważmy, że:

$\left|\sphericalangle ACP\right|=\left|\sphericalangle PBC\right|$

Co zostało wykazane wyżej.

$\left|\sphericalangle CPA\right|=\left|\sphericalangle CPB\right|$

Ponieważ kąty te się pokrywają.

Jeśli dwa kąty są takiej samej miary, to trzeci kąt również musi być takiej samej miary, ponieważ suma miar kątów w trójkącie wynosi $180^{\circ }$.

Na mocy cechy kąt-kąt-kąt trójkąty $PCA$ i $PBC$ są podobne.

---

Chcemy teraz pokazać, że:

${\left|PC\right|}^2=\left|PA\right|\cdot \left|PB\right|$

Korzystając z podobieństwa trójkątów otrzymujemy:

$\frac{\left|PC\right|}{\left|PB\right|}=\frac{\left|PA\right|}{\left|PC\right|}$  

Przekształcając otrzymujemy:

$\left|PC\right|\cdot \left|PC\right|=\left|PA\right|\cdot \left|PB\right|$

Więc:

${\left|PC\right|}^2=\left|PA\right|\cdot \left|PB\right|$

A to należało udowodnić.