a)
Z treści zadania wiemy, że
a=1,b=1,c=2+3
Korzystając z twierdzenia cosinusów dostajemy
c2=a2+b2−2abcosγ∣−a2−b2
c2−a2−b2=−2abcosγ∣:(−2ab)
−2abc2−a2−b2=cosγ
cosγ=−2abc2−a2−b2
cosγ=−2⋅1⋅1(2+3)2−12−12
cosγ=−22+3−1−1
cosγ=−23∣⋅(−1)
−cosγ=23
cos(180∘−γ)=23
Wiemy, że
cos30∘=23
zatem
180∘−γ=30∘∣+γ−30∘
γ=150∘
Suma miar kątów w trójkącie wynosi 180∘, więc
α+β+150∘=180∘∣−150∘
α+β=30∘
Możemy zauważyć, że a=b=1, więc trójkąt ten jest równoramienny.
Wnioskujemy, że
α=β=230∘=15∘
b)
Z treści zadania wiemy, że
a=2,b=2,c=1+3
Korzystając z twierdzenia cosinusów dostajemy
c2=a2+b2−2abcosγ∣−a2−b2
c2−a2−b2=−2abcosγ∣:(−2ab)
−2abc2−a2−b2=cosγ
cosγ=−2abc2−a2−b2
cosγ=−2⋅2⋅2(1+3)2−22−22
cosγ=−421+23+3−2−4
cosγ=−4223−2
cosγ=−223−1
cosγ≈=−0,2588
cosγ≈−sin15∘
cosγ≈cos(90∘+15∘)
cosγ≈cos105∘
γ≈105∘
Korzystając ponownie z twierdzenia cosinusów dostajemy
a2=c2+b2−2bccosα∣−c2−b2
a2−c2−b2=−2bccosα∣:(−2bc)
−2bca2−c2−b2=cosα
cosα=−2abc2−a2−b2
cosα=−2bca2−c2−b2
cosα=−2⋅2⋅(1+3)22−22−(1+3)2
cosα=−4(1+3)2−4−(1+23+3)
cosα=−4(1+3)−2−1−23−3
cosα=−4(1+3)−6−23
cosα=2+233+3
cosα≈0,8660
α≈30∘
β≈180∘−105∘−30∘=
=45∘
