Naprzeciw kąta $\alpha$ znajduje się bok $a,$ naprzeciw kąta $\beta$ znajduje się bok $b,$ natomiast naprzeciw kąta $\gamma$ znajduje się bok $c$ trójkąta. 

---

a)

Z treści zadania wiemy, że

$a=3,b=5,\alpha =30^{\circ }$

Korzystając z twierdzenia sinusów obliczamy miarę kąta $\beta .$

$\frac{a}{\sin \alpha }=\frac{b}{\sin \beta }$

$a\sin \beta =b\sin \alpha$

$\sin \beta =\frac{b\sin \alpha }{a}$

$\sin \beta =\frac{5\cdot \sin 30^{\circ }}{3}$

$\sin \beta =\frac{5\cdot \frac{1}{2}}{3}$

$\sin \beta =\frac{5}{6}$

$\sin \beta \approx 0,8333$

zatem

$\beta \approx 56,5^{\circ }$

Zauważmy, że

$\beta \approx 180^{\circ }-56,5^{\circ }=$

$=123,5^{\circ }$

również spełnia warunki zadania, ponieważ

$\alpha +\beta =153,5^{\circ }<180^{\circ }$

Wobec tego

$\begin{array}{ccc}{\beta }_1\approx 56,5^{\circ }& \text{lub}& {\beta }_2=123,5^{\circ }\end{array}$

Obliczamy miarę kąta $\gamma$ korzystając z sumy miar kątów w trójkącie.

${\gamma }_1=180^{\circ }-\left(\alpha +{\beta }_1\right)\approx$

$\approx 180^{\circ }-\left(30^{\circ }+56,5^{\circ }\right)=$

$=180^{\circ }-86,5^{\circ }=$

$=93,5^{\circ }$

lub

${\gamma }_2\approx 180^{\circ }-\left(30^{\circ }+123,5^{\circ }\right)=$

$=180^{\circ }-153,5^{\circ }=26,5^{\circ }$

Korzystając z twierdzenia sinusów obliczamy długość boku $c.$

$\frac{a}{\sin \alpha }=\frac{c_1}{\sin {\gamma }_1}$

$a\sin {\gamma }_1=c_1\sin \alpha$

$c_1=\frac{a\sin {\gamma }_1}{\sin \alpha }$

$c_1\approx \frac{3\cdot \sin 93,5^{\circ }}{\sin 30^{\circ }}$

$c_1\approx \frac{3\cdot \sin \left(90+3,5^{\circ }\right)}{\frac{1}{2}}$

$c_1\approx 3\cdot \cos 3,5^{\circ }\cdot 2$

$c_1\approx 6\cdot 0,9976$

$c_1\approx 6$

lub

$\frac{a}{\sin \alpha }=\frac{c_2}{\sin {\gamma }_2}$

$a\sin {\gamma }_2=c_2\sin \alpha$

$c_2=\frac{a\sin {\gamma }_2}{\sin \alpha }$

$c_2\approx \frac{3\cdot \sin 26,5^{\circ }}{\sin 30^{\circ }}$

$c_2\approx \frac{3\cdot 0,4540}{\frac{1}{2}}$

$c_2\approx 2,7$

---

b)

Z treści zadania wiemy, że

$a=8,b=10,\alpha =45^{\circ }$

Korzystając z twierdzenia sinusów obliczamy miarę kąta $\beta .$

$\frac{a}{\sin \alpha }=\frac{b}{\sin \beta }$

$a\sin \beta =b\sin \alpha$

$\sin \beta =\frac{b\sin \alpha }{a}$

$\sin \beta =\frac{10\cdot \sin 45^{\circ }}{8}$

$\sin \beta =\frac{10\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{8}$

$\sin \beta =\frac{5\sqrt{2}}{8}$

$\sin \beta \approx 0,8839$

zatem

$\beta \approx 62^{\circ }$

Zauważmy, że

$\beta \approx 180^{\circ }-62^{\circ }=$

$=118^{\circ }$

również spełnia warunki zadania, ponieważ

$\alpha +\beta =163^{\circ }<180^{\circ }$

Wobec tego

$\begin{array}{ccc}{\beta }_1\approx 62^{\circ }& \text{lub}& {\beta }_2=118^{\circ }\end{array}$

Obliczamy miarę kąta $\gamma$ korzystając z sumy miar kątów w trójkącie.

${\gamma }_1=180^{\circ }-\left(\alpha +{\beta }_1\right)\approx$

$\approx 180^{\circ }-\left(45^{\circ }+62^{\circ }\right)=$

$=180^{\circ }-107^{\circ }=$

$=73^{\circ }$

lub

${\gamma }_2\approx 180^{\circ }-\left(45^{\circ }+118^{\circ }\right)=$

$=180^{\circ }-163^{\circ }=17^{\circ }$

Korzystając z twierdzenia sinusów obliczamy długość boku $c.$

$\frac{a}{\sin \alpha }=\frac{c_1}{\sin {\gamma }_1}$

$a\sin {\gamma }_1=c_1\sin \alpha$

$c_1=\frac{a\sin {\gamma }_1}{\sin \alpha }$

$c_1\approx \frac{8\cdot \sin 73^{\circ }}{\sin 45^{\circ }}$

$c_1\approx \frac{8\cdot 0,9563}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$

$c_1\approx 10,8$

lub

$\frac{a}{\sin \alpha }=\frac{c_2}{\sin {\gamma }_2}$

$a\sin {\gamma }_2=c_2\sin \alpha$

$c_2=\frac{a\sin {\gamma }_2}{\sin \alpha }$

$c_2\approx \frac{8\cdot \sin 17^{\circ }}{\sin 45^{\circ }}$

$c_2\approx \frac{8\cdot 0,2924}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$

$c_2\approx 3,3$

---

c)

Z treści zadania wiemy, że

$a=9,b=10,\alpha =60^{\circ }$

Korzystając z twierdzenia sinusów obliczamy miarę kąta $\beta .$

$\frac{a}{\sin \alpha }=\frac{b}{\sin \beta }$

$a\sin \beta =b\sin \alpha$

$\sin \beta =\frac{b\sin \alpha }{a}$

$\sin \beta =\frac{10\cdot \sin 60^{\circ }}{9}$

$\sin \beta =\frac{10\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{9}$

$\sin \beta \approx 0,9623$

zatem

$\beta \approx 74^{\circ }$

Zauważmy, że

$\beta \approx 180^{\circ }-74^{\circ }=$

$=106^{\circ }$

również spełnia warunki zadania, ponieważ

$\alpha +\beta =166^{\circ }<180^{\circ }$

Wobec tego

$\begin{array}{ccc}{\beta }_1\approx 74^{\circ }& \text{lub}& {\beta }_2=106^{\circ }\end{array}$

Obliczamy miarę kąta $\gamma$ korzystając z sumy miar kątów w trójkącie.

${\gamma }_1=180^{\circ }-\left(\alpha +{\beta }_1\right)\approx$

$\approx 180^{\circ }-\left(60^{\circ }+74^{\circ }\right)=$

$=180^{\circ }-134^{\circ }=$

$=46^{\circ }$

lub

${\gamma }_2\approx 180^{\circ }-\left(60^{\circ }+106^{\circ }\right)=$

$=180^{\circ }-166^{\circ }=14^{\circ }$

Korzystając z twierdzenia sinusów obliczamy długość boku $c.$

$\frac{a}{\sin \alpha }=\frac{c_1}{\sin {\gamma }_1}$

$a\sin {\gamma }_1=c_1\sin \alpha$

$c_1=\frac{a\sin {\gamma }_1}{\sin \alpha }$

$c_1\approx \frac{9\cdot \sin 46^{\circ }}{\sin 60^{\circ }}$

$c_1\approx \frac{9\cdot 0,7193}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$

$c_1\approx 7,5$

lub

$\frac{a}{\sin \alpha }=\frac{c_2}{\sin {\gamma }_2}$

$a\sin {\gamma }_2=c_2\sin \alpha$

$c_2=\frac{a\sin {\gamma }_2}{\sin \alpha }$

$c_2\approx \frac{9\cdot \sin 14^{\circ }}{\sin 60^{\circ }}$

$c_2\approx \frac{9\cdot 0,2419}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$

$c_2\approx 2,5$

---

d)

Z treści zadania wiemy, że

$a=1,b=2,\beta =45^{\circ }$

Korzystając z twierdzenia sinusów obliczamy miarę kąta $\alpha .$

$\frac{a}{\sin \alpha }=\frac{b}{\sin \beta }$

$a\sin \beta =b\sin \alpha$

$\sin \alpha =\frac{a\sin \beta }{b}$

$\sin \alpha =\frac{1\cdot \sin 45^{\circ }}{2}$

$\sin \alpha =\frac{1\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}$

$\sin \alpha \approx 0,3536$

zatem

$\alpha \approx 21^{\circ }$

Zauważmy, że

$\alpha \approx 180^{\circ }-21^{\circ }=$

$=159^{\circ }$

nie spełnia warunków zadania, ponieważ

$\alpha +\beta =204^{\circ }>180^{\circ }$

Wobec tego

$\alpha =21^{\circ }$

Obliczamy miarę kąta $\gamma$ korzystając z sumy miar kątów w trójkącie.

${\gamma }_{}=180^{\circ }-\left(\alpha +{\beta }_{}\right)\approx$

$\approx 180^{\circ }-\left(21^{\circ }+45^{\circ }\right)=$

$=180^{\circ }-66^{\circ }=$

$=114^{\circ }$

Korzystając z twierdzenia sinusów obliczamy długość boku $c.$

$\frac{b}{\sin \beta }=\frac{c_{}}{\sin {\gamma }_{}}$

$b\sin \gamma =c\sin \beta$

$c_{}=\frac{b\sin {\gamma }_{}}{\sin \beta }$

$c_{}\approx \frac{2\cdot \sin 114^{\circ }}{\sin 45^{\circ }}$

$c_{}\approx \frac{2\cdot \sin \left(90+24^{\circ }\right)}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$

$c\approx \frac{4\cdot \cos 24^{\circ }}{\sqrt{2}}$

$c\approx \frac{4\cdot 0,9135}{\sqrt{2}}$

$c\approx 2,6$