Zauważmy, że sumę kwadratów pierwiastków równania możemy zapisać w poniższej postaci.

$x_1^2+x_2^2={\left(x_1+x_2\right)}^2-2x_1{x}_2$

Wobec powyższego, aby wyznaczyć sumę kwadratów pierwiastków równania, należy obliczyć sumę i iloczyn pierwiastków.

---

a)

Dane jest równanie

$x^2-x-1=0$

Odczytujemy wartości współczynników.

$a=1,b=-1,c=-1$

Obliczamy wyróżnik trójmianu kwadratowego.

$\Delta ={\left(-1\right)}^2-4\cdot 1\cdot \left(-1\right)=$

$=1+4=5$

Skoro $\Delta >0,$ to równanie ma dwa pierwiastki $x_1$ oraz $x_2.$

Obliczamy sumę pierwiastków równania korzystając ze wzoru Viete'a.

$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=$

$=-\frac{-1}{1}=1$

Obliczamy iloczyn pierwiastków równania korzystając ze wzoru Viete'a.

$x_1\cdot x_2=\frac{c}{a}=$

$=\frac{-1}{1}=-1$

Obliczamy sumę kwadratów pierwiastków równania.

$x_1^2+x_2^2={\left(x_1+x_2\right)}^2-2x_1{x}_2=$

$=1^2-2\cdot \left(-1\right)=$

$=1+2=\boxed{3}$

---

b)

Dane jest równanie

$2x^2+6x-3=0$

Odczytujemy wartości współczynników.

$a=2,b=6,c=-3$

Obliczamy wyróżnik trójmianu kwadratowego.

$\Delta =6^2-4\cdot 2\cdot \left(-3\right)=$

$=36+24=60$

Skoro $\Delta >0,$ to równanie ma dwa pierwiastki $x_1$ oraz $x_2.$

Obliczamy sumę pierwiastków równania korzystając ze wzoru Viete'a.

$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=$

$=-\frac{6}{2}=-3$

Obliczamy iloczyn pierwiastków równania korzystając ze wzoru Viete'a.

$x_1\cdot x_2=\frac{c}{a}=$

$=\frac{-3}{2}=-\frac{3}{2}$

Obliczamy sumę kwadratów pierwiastków równania.

$x_1^2+x_2^2={\left(x_1+x_2\right)}^2-2x_1{x}_2=$

$=(-3{)}^2-2\cdot \left(-\frac{3}{2}\right)=$

$=9+3=\boxed{12}$

---

c)

Dane jest równanie

$3x^2-4x+2=0$

Odczytujemy wartości współczynników.

$a=3,b=-4,c=2$

Obliczamy wyróżnik trójmianu kwadratowego.

$\Delta ={\left(-4\right)}^2-4\cdot 3\cdot 2=$

$=16-24=-8$

Skoro $\Delta <0,$ to równanie nie ma pierwiastków.