Przyjrzyjmy się rysunkowi.

Niech $a$ będzie symetralną boku $AB$ trójkąta $ABC,$ natomiast $b$ symetralną boku $BC$tego trójkąta.

Skoro prosta $AB$ i prosta $BC$ się przecinają, to również prosta $a$ i prosta $b$ się przecinają (mają punkt wspólny). Niech punkt $P$ będzie punktem przecięcia prostej $a$ i prostej $b.$

Zauważamy, że skoro punkt $P$ należy do symetralnej boku $AB$ trójkąta $ABC,$ to $\left|AP\right|=\left|BP\right|.$ Punkt $P$ należy również do symetralnej boku $BC$ trójkąta $ABC,$ zatem $\left|BP\right|=\left|CP\right|.$ Wobec tego $\left|AP\right|=\left|CP\right|.$ 

Na podstawie powyższych rozważań oraz tego, że symetralna odcinka jest zbiorem punktów, które są równooddalone od obu końców odcinka zauważamy, że jeśli narysujemy symetralną boku $AC$ trójkąta $ABC,$ to punkt $P$ będzie również do niej należał. 

Wnioskujemy, że symetralne boków trójkąta przecinają się w jednym punkcie, co należało udowodnić.