a)

Szkicujemy rysunek pomocniczy.

Promień okręgu ma długość $11\text{cm}.$

Punkt $P$ jest odległy od środka okręgu o $5\text{cm},$ zatem odległość punktu $P$ od punktu $C$ jest równa

$11-5=6\left[\text{cm}\right]$

Wiemy, że

$x+y=20|-y$

$x=20-y$

Korzystając z twierdzenia o cięciwach dostajemy

$\left|PA\right|\cdot \left|PC\right|=\left|PB\right|\cdot \left|PD\right|$

$\left(11+5\right)\cdot 6=x\cdot y$

$16\cdot 6=\left(20-y\right)\cdot y$ 

$96=20y-y^2|+y^2-20y$

$y^2-20y+96=0$

Obliczamy wyróżnik trójmianu kwadratowego.

$\Delta ={\left(-20\right)}^2-4\cdot 1\cdot 96=$

$=400-384=16$

$\sqrt{\Delta }=\sqrt{16}=4$

$y_1=\frac{20-4}{2}=$

$=\frac{16}{2}=8$

$y_2=\frac{20+4}{2}=$

$=\frac{24}{2}=12$

Jeśli $y=8,$ to  $x=20-8=12.$

Jeśli $y=12,$ to $x=20-12=8.$

Zatem otrzymaliśmy, że punkt $P$ dzieli cięciwę na odcinki o długościach $8\text{cm}$ i $12\text{cm}.$

---

b)

Szkicujemy rysunek pomocniczy.

Zauważmy, że z symetrii mamy

$\left|PA\right|=\left|PC\right|$

$x=y$

Korzystając z twierdzenia o cięciwach dostajemy

$\left|PA\right|\cdot \left|PC\right|=\left|PB\right|\cdot \left|PD\right|$

$x\cdot y=6\cdot 24$

$x\cdot x=6\cdot 6\cdot 4$

$x^2=6^2\cdot 2^2|\sqrt{},x>0$

$x=6\cdot 2$

$x=12\left[\text{cm}\right]$

wtedy

$y=x=12\left[\text{cm}\right]$

Zatem

$x+y=12+12=24\left[\text{cm}\right]$

Zatem szukana długość cięciwy wynosi $24\text{cm}.$