a)

Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku poniżej.

Kąty $BAD$ i $BCD$ są kątami wpisanymi opartymi na tym samym łuku, zatem

$\gamma =\left|\sphericalangle BCD\right|=\left|\sphericalangle BAD\right|=48^{\circ }$

Trójkąt $CDO$ jest trójkątem równoramiennym, ponieważ jego dwa boki, to promienie okręgu. Wobec tego

$\beta =\left|\sphericalangle CDO\right|=\left|\sphericalangle OCD\right|=\left|\sphericalangle BCD\right|=48^{\circ }$

Suma miar kątów w trójkącie wynosi $180^{\circ }.$ Zatem dla trójkąta $COD$ mamy

$\left|\sphericalangle COD\right|=180^{\circ }-\gamma -\beta =$

$=180^{\circ }-48^{\circ }-48^{\circ }=84^{\circ }$

Kąty $COD$ i $AOB$ są kątami wierzchołkowymi, zatem

$\alpha =\left|\sphericalangle AOB\right|=\left|\sphericalangle COD\right|=84^{\circ }$

---

b)

Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku poniżej.

Kąty $BAC$ i $BDC$ są kątami wpisanymi opartymi na tym samym łuku, zatem

$\alpha =\left|\sphericalangle BAC\right|=\left|\sphericalangle BDC\right|=65^{\circ }$

Kąt $DBC$ jest kątem opartym na średnicy. Wobec tego

$\left|\sphericalangle DBC\right|=90^{\circ }$

$\left|\sphericalangle DBA\right|+\left|\sphericalangle ABC\right|=90^{\circ }$

$\left|\sphericalangle DBA\right|+60^{\circ }=90^{\circ }|-60^{\circ }$

$\left|\sphericalangle DBA\right|=30^{\circ }$

Kąty $DBA$ i $DCA$ są kątami wpisanymi opartymi na tym samym łuku, więc

$\gamma =\left|\sphericalangle DCA\right|=\left|\sphericalangle DBA\right|=30^{\circ }$

Suma miar kątów w trójkącie wynosi $180^{\circ }.$ Zatem dla trójkąta $CAE$ mamy

$\beta =\left|\sphericalangle CEA\right|=180^{\circ }-\gamma -\alpha =$

$=180^{\circ }-30^{\circ }-65^{\circ }=85^{\circ }$

---

c)

Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku poniżej.

Suma miar kątów w trójkącie wynosi $180^{\circ }.$ Zatem dla trójkąta $CAE$ mamy

$\gamma =\left|\sphericalangle CAE\right|=180^{\circ }-24^{\circ }-86^{\circ }=70^{\circ }$

Kąty $\alpha$ oraz $\gamma$ są kątami wpisanymi opartymi na tym samym łuku, a więc:

$\alpha =\gamma =70^{\circ }$

Kąty $ABD$ i $ACD$ są kątami wpisanymi opartymi na tym samym łuku, więc

$\left|\sphericalangle ABD\right|=\left|\sphericalangle ACD\right|=24^{\circ }$

Kąt $DBC$ jest kątem opartym na średnicy, wobec tego

$\left|\sphericalangle DBC\right|=90^{\circ }$

$\left|\sphericalangle ABD\right|+\left|\sphericalangle ABC\right|=90^{\circ }$

$24^{\circ }+\left|\sphericalangle ABC\right|=90^{\circ }|-24^{\circ }$

$\left|\sphericalangle ABC\right|=66^{\circ }$

$\beta =66^{\circ }$