a)

Należy udowodnić wzór Viete'a na sumę pierwiastków.

$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$

Jeśli trójmian kwadratowy $a{x}^2+bx+c=0$ ma pierwiastki, to możemy je zapisać za pomocą wzorów

$x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a}$

$x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a}$

wobec tego sumę pierwiastków możemy zapisać w postaci

$x_1+x_2=$

$=\frac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a}+\frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a}=$

$=\frac{-b-\sqrt{\Delta }-b+\sqrt{\Delta }}{2a}=$

$=\frac{-2b}{2a}=\frac{-b}{a}=-\frac{b}{a}$

co należało udowodnić.

---

b)

Należy udowodnić, że jeśli $\Delta =0,$ to wzory Viete'a można zapisać w poniższej postaci

$2x_0=-\frac{b}{a}$

$x_0^2=\frac{c}{a}$

Wiemy, że jeśli $\Delta =0,$ to trójmian kwadratowy ma jeden, podwójny pierwiastek, wyrażony za pomocą wzoru

$x_0=-\frac{b}{2a}$

Jeżeli $\Delta =0,$ to

$b^2-4ac=0$

a zatem

$b^2=4ac$

Z powyższej równości skorzystamy w dowodzie wzoru $x_0^2=\frac{c}{a}.$

Udowodnijmy najpierw wzór zapisany kolorem niebieskim. 

$2x_0=2\cdot \left(-\frac{b}{2a}\right)=$

$=-\frac{2b}{2a}=-\frac{b}{a}$

co należało udowodnić.

Przechodzimy do udowodnienia wzoru zapisanego kolorem zielonym.

$x_0^2={\left(-\frac{b}{2a}\right)}^2=$

$=\frac{b^2}{4a^2}=\frac{4ac}{4a^2}=$

$=\frac{c}{a}$

co należało udowodnić.