Z treści zadania wiemy, że:

$\alpha <\beta$

Więc:

$\alpha <\beta |+\beta$

$\alpha +\beta <2\beta$

$180^{\circ }<2\beta |:2$

$90^{\circ }<\beta$

Zatem $\beta$   to kąt rozwarty.  

Skoro $\beta$   jest kątem rozwartym, to $\alpha$   jest kątem ostrym.

Z treści zadania wiemy, że:

$\sin \alpha =\frac{1}{4}$  

Z jedynki trygonometrycznej mamy:

${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$  

${\left(\frac{1}{4}\right)}^2+{\cos }^2\alpha =1$  

$\frac{1}{16}+{\cos }^2\alpha =1$  

${\cos }^2\alpha =\frac{15}{16}$  

$\cos \alpha =\frac{\sqrt{15}}{4}$  

Zauważmy, że:

$\cos \beta =\cos \left({180}^{\circ }-\alpha \right)=-\cos \alpha =-\frac{\sqrt{15}}{4}$

Zatem otrzymujemy:

$1+\cos \beta =1-\frac{\sqrt{15}}{4}$

Odp.: