a)

Rysunek pomocniczy:

Przekątne w rombie przecinają się pod kątem prostym i w połowie.

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa mamy:

$x^2+12^2=13^2$

$x^2+144=169$

$x^2=25|\sqrt{},x>0$          

$x=5$

Długość krótszej przekątnej jest zatem równa:

$2x=2\cdot 5=10$

Obliczmy pole rombu o przekątnych długości $d_1=10$ i $d_2=24$:

$P=\frac{1}{2}{d}_1{d}_2$

$P=\frac{1}{2}\cdot 24\cdot 10=120$

Pozostało jeszcze obliczyć wysokość rombu. W tym celu skorzystamy z innego wzoru na pole równoległoboku:

$P=a\cdot h$

$120=13h|:13$  

$h=\frac{120}{13}$

Odp.: Pole rombu jest równe $120$, a jego wysokość jest równa $\frac{120}{13}$.

---

b)

Rysunek pomocniczy:

Jeśli poznamy wysokość rombu, znane będzie też i pole.

Zauważmy, że:

$\frac{h}{6}=\sin \alpha$

Z treści zadania wiemy, że:

$\cos \alpha =\frac{1}{3}$  

Korzystając z jedynki trygonometrycznej mamy:

${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$  

${\sin }^2\alpha +\frac{1}{9}=1$

${\sin }^2\alpha =\frac{8}{9}|\sqrt{},\sin \alpha >0$  

$\sin \alpha =\frac{\sqrt{8}}{3}$  

$\sin \alpha =\frac{2\sqrt{2}}{3}$  

Zatem:

$\frac{h}{6}=\frac{2\sqrt{2}}{3}|\cdot 6$

$h=4\sqrt{2}$

A zatem pole rombu jest równe

$P=ah=6\cdot 4\sqrt{2}=24\sqrt{2}$

Odp.: Pole rombu jest równe $24\sqrt{2}$, a jego wysokość jest równa $4\sqrt{2}$.