Rysunek pomocniczy trójkąta prostokątnego równoramiennego:

---

a)

Z treści zadania wiemy, że pole trójkąta prostokątnego równoramiennego jest równe $4,5{\mathrm{cm}}^2$. Obliczmy długość boku $a$ tego trójkąta:

$P=\frac{1}{2}\cdot a\cdot a$

$\frac{1}{2}{a}^2=4,5|\cdot 2$

$a^2=9|\sqrt{},a>0$

$a=3\left[\mathrm{cm}\right]$

Wtedy długość przeciwprostokątnej jest równa:

$a\sqrt{2}=3\sqrt{2}\left[\mathrm{cm}\right]$

Obliczmy obwód tego trójkąta:

$Ob=a+a+a\sqrt{2}=3+3+3\sqrt{2}=$

$=6+3\sqrt{2}=3\left(2+\sqrt{2}\right)\left[\mathrm{cm}\right]$

Odp.: Obwód jest równy $3\left(2+\sqrt{2}\right)\mathrm{cm}$.

---

b)

Z treści zadania wiemy, że obwód trójkąta prostokątnego równoramiennego jest równy $\left(30+15\sqrt{2}\right)\text{cm}$. Możemy więc zapisać:

$2a+a\sqrt{2}=30+15\sqrt{2}$

$a\left(2+\sqrt{2}\right)=15\left(2+\sqrt{2}\right)|:\left(2+\sqrt{2}\right)$

$a=15$  

Obliczmy pole tego trójkąta:

$P=\frac{1}{2}\cdot a\cdot a=\frac{1}{2}{a}^2=\frac{1}{2}\cdot 15^2=$

$=\frac{1}{2}\cdot 225=112,5\left[{\mathrm{cm}}^2\right]$

Odp.: Pole jest równe $112,5{\text{cm}}^2$.