Definicja funkcji trygonometrycznych dowolnego kąta Dla punktu $P\left(x,y\right)$ (różnego od początku układu współrzędnych), leżącego na ramieniu końcowym dowolnego kąta $\alpha$, zachodzą następujące równości:  $\sin \alpha =\frac{y}{r}$ $\cos \alpha =\frac{x}{r}$  $\mathrm{tg}\alpha =\frac{y}{x}$ (dla $x\ne 0$) gdzie $r=\sqrt{x^2+y^2}$

---

a)

Zaznaczmy w układzie współrzędnych punkty $P$, $Q$ i kąt $\alpha$:

Punkt $P$ ma współrzędne $\left(-4,3\right)$, zatem $x=-4$, $y=3$. Obliczmy $r$:

$r=\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{{\left(-4\right)}^2+3^2}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5$

Korzystając ze współrzędnych punktu $P$ mamy:

$\sin \alpha =\frac{y}{r}=\frac{3}{5}$  

$\cos \alpha =\frac{x}{r}=\frac{-4}{5}=-\frac{4}{5}$  

$\mathrm{tg}\alpha =\frac{y}{x}=\frac{3}{-4}=-\frac{3}{4}$  

---

b)

Zaznaczmy w układzie współrzędnych punkty $P$, $Q$ i kąt $\alpha$:

Punkt $P$ ma współrzędne $\left(-3,3\right)$, zatem $x=-3$, $y=3$. Obliczmy $r$:

$r=\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{{\left(-3\right)}^2+3^2}=\sqrt{9+9}=\sqrt{9\cdot 2}=3\sqrt{2}$

Korzystając ze współrzędnych punktu $P$ mamy:

$\sin \alpha =\frac{y}{r}=\frac{3}{3\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$  

$\cos \alpha =\frac{x}{r}=\frac{-3}{3\sqrt{2}}=-\frac{1}{\sqrt{2}}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$

$\mathrm{tg}\alpha =\frac{y}{x}=\frac{3}{-3}=-1$  

---

c)

Zaznaczmy w układzie współrzędnych punkty $P$, $Q$ i kąt $\alpha$:

Punkt $Q$ ma współrzędne $\left(-2,6\right)$, zatem $x=-2$, $y=6$. Obliczmy $r$:

$r=\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{{\left(-2\right)}^2+6^2}=\sqrt{4+36}=\sqrt{40}=2\sqrt{10}$

Korzystając ze współrzędnych punktu $Q$ mamy:

$\sin \alpha =\frac{y}{r}=\frac{6}{2\sqrt{10}}=\frac{3}{\sqrt{10}}=\frac{3\sqrt{10}}{10}$

$\cos \alpha =\frac{x}{r}=\frac{-2}{2\sqrt{10}}=\frac{-1}{\sqrt{10}}=-\frac{\sqrt{10}}{10}$

$\mathrm{tg}\alpha =\frac{y}{x}=\frac{6}{-2}=-3$