a)

Najdłuższy bok trójkąta prostokątnego to przeciwprostokątna tego trójkąta.

Oznaczmy przez $x$ i $y$ długości przyprostokątnych tego trójkąta (oczywiście $x$ i $y$ są liczbami dodatnimi).

Możemy zapisać układ równań (jedno równanie otrzymujemy z twierdzenia Pitagorasa, a drugie dzięki temu, że znamy obwód trójkąta)

$\{\begin{array}{l}{x}^2+y^2=13^2\\ x+y+13=30|-13-y\end{array}$

$\{\begin{array}{c}{x}^2+y^2=169\\ x=17-y\end{array}$

Wstawiamy $x$ z drugiego równania do pierwszego równania i mamy: 

${\left(17-y\right)}^2+y^2=169$

$289-34y+y^2+y^2=169|-169$

$2y^2-34y+120=0|:2$

$y^2-17y+60=0$

$\Delta ={\left(-17\right)}^2-4\cdot 1\cdot 60=289-240=49$

$\sqrt{\Delta }=\sqrt{4}9=7$

$y_1=\frac{17-7}{2}=\frac{10}{2}=5\left[\text{cm}\right]$

$y_2=\frac{17+7}{2}=\frac{24}{2}=12\left[\text{cm}\right]$

Zatem:

$\{\begin{array}{l}y=5\\ x=17-5\end{array}\text{lub}\{\begin{array}{l}y=12\\ x=17-12\end{array}$

$\{\begin{array}{c}y=5\\ x=12\end{array}\text{lub}\{\begin{array}{c}y=12\\ x=5\end{array}$

Odp.: Pozostałe boki trójkąta mają długości $5\mathrm{cm}$ i $12\mathrm{cm}$.

---

b)

Oznaczmy długości przyprostokątnych przez  $x$ i $y$ (oczywiście $x$ i $y$ to liczby dodatnie). 

Możemy zapisać układ równań (jedno równanie otrzymujemy z twierdzenia Pitagorasa, a drugie dzięki informacji z zadania o średniej arytmetycznej).

$\{\begin{array}{l}{x}^2+y^2=2^2\\ x=\frac{y+2}{2}\end{array}$

$\{\begin{array}{c}{x}^2+y^2=4\\ 2x=y+2|-2\end{array}$

$\{\begin{array}{c}{x}^2+y^2=4\\ y=2x-2\end{array}$

Wstawiamy $y$ z drugiego równania do pierwszego równania: 

$x^2+{\left(2x-2\right)}^2=4$

$x^2+4x^2-8x+4=4|-4$

$5x^2-8x=0|:5$

$x^2-\frac{8}{5}x=0$

$x\left(x-\frac{8}{5}\right)=0$

$x=0\text{lub}x=\frac{8}{5}$

Wiemy, że $x>0$, zatem $x=\frac{8}{5}$.

Mamy więc:

$\{\begin{array}{l}x=\frac{8}{5}\\ y=2\cdot \frac{8}{5}-2\end{array}$

$\{\begin{array}{l}x=\frac{8}{5}\\ y=\frac{16}{5}-\frac{10}{5}\end{array}$  

$\{\begin{array}{c}x=\frac{8}{5}\\ y=\frac{6}{5}\end{array}$

$\{\begin{array}{l}x=\frac{8}{5}\\ y=\frac{6}{5}\end{array}$  

Obliczmy obwód tego trójkąta.

$L=\frac{8}{5}+\frac{6}{5}+2=\frac{14}{5}+2=2\frac{4}{5}+2=$

$=4\frac{4}{5}=4,8\left[\text{cm}\right]$

Odp.: Obwód trójkąta jest równy $4,8\mathrm{cm}$.