a)

Dane jest równanie

$x^4-5x^2-6=0$

Zastosujemy podstawienie  

$t=x^2,t⩾0$

Wobec tego otrzymujemy równanie ze zmienną $t.$

$t^2-5t-6=0$

Obliczamy wyróżnik trójmianu kwadratowego.

$\Delta ={\left(-5\right)}^2-4\cdot 1\cdot (-6)=$

$=25+24=49$

zatem

$\sqrt{\Delta }=\sqrt{49}=7$

Skoro $\Delta >0$, to równanie kwadratowe ma dwa rozwiązania.

$t_1=\frac{-\left(-5\right)-7}{2\cdot 1}=$

$=\frac{5-7}{2}=$

$=\frac{-2}{2}=-1$

$t_2=\frac{-\left(-5\right)+7}{2\cdot 1}=$

$=\frac{5+7}{2}=$

$=\frac{12}{2}=6$

Zauważamy, że tylko rozwiązanie $t_2=6$ spełnia założenie $t⩾0$, zatem wracamy do podstawienia $t=x^2$ i otrzymujemy

$x^2=6|\sqrt{}$

$\begin{array}{ccc}x=-\sqrt{6}& \text{lub}& x=\sqrt{6}\end{array}$

Wnioskujemy, że

$x\in \left\{-\sqrt{6},\sqrt{6}\right\}$

---

b)

Dane jest równanie

$x^4+5x^2+6=0$

Zastosujemy podstawienie 

$t=x^2,t⩾0$

Wobec tego otrzymujemy równanie ze zmienną $t.$

$t^2+5t+6=0$

Obliczamy wyróżnik trójmianu kwadratowego.

$\Delta =5^2-4\cdot 1\cdot 6=$

$=25-24=1$

zatem

$\sqrt{\Delta }=\sqrt{1}=1$

Skoro $\Delta >0$, to równanie kwadratowe ma dwa rozwiązania.

$t_1=\frac{-5-1}{2\cdot 1}=$

$=\frac{-6}{2}=-3$

$t_2=\frac{-5+1}{2\cdot 1}=$

$=\frac{-4}{2}=-2$

Zauważamy, że oba rozwiązania równania nie spełniają założenia $t⩾0$, zatem podane równanie ze zmienną $x$ jest równaniem sprzecznym.

---

c)

Dane jest równanie

$x^4+x^2-12=0$

Zastosujemy podstawienie 

$t=x^2,t⩾0$

Wobec tego otrzymujemy równanie ze zmienną $t.$

$t^2+t-12=0$

Obliczamy wyróżnik trójmianu kwadratowego.

$\Delta =1^2-4\cdot 1\cdot \left(-12\right)=$

$=1+48=49$

zatem

$\sqrt{\Delta }=\sqrt{49}=7$

Skoro $\Delta >0$, to równanie kwadratowe ma dwa rozwiązania.

$t_1=\frac{-1-7}{2\cdot 1}=$

$=\frac{-8}{2}=-4$

$t_2=\frac{-1+7}{2\cdot 1}=$

$=\frac{6}{2}=3$

Zauważamy, że tylko jedno rozwiązanie równania spełniają założenie $t⩾0$, zatem wracamy do podstawienia $t=x^2$ i otrzymujemy

$x^2=3|\sqrt{}$

$\begin{array}{ccc}x=\sqrt{3}& \text{lub}& x=-\sqrt{3}\end{array}$

Wnioskujemy, że

$x\in \left\{-\sqrt{3},\sqrt{3}\right\}$

---

d)

Dane jest równanie

$x^4-4x^2+4=0$

Zastosujemy podstawienie 

$t=x^2,t⩾0$

Wobec tego otrzymujemy równanie ze zmienną $t.$

$t^2-4t+4=0$

Obliczamy wyróżnik trójmianu kwadratowego.

$\Delta ={\left(-4\right)}^2-4\cdot 1\cdot 4=$

$=16+16=0$

Skoro $\Delta =0$, to równanie kwadratowe ma jedno rozwiązanie.

$t=\frac{-\left(-4\right)}{2\cdot 1}=$

$=\frac{4}{2}=2$

Zauważamy, że otrzymane rozwiązanie równania spełnia założenie $t⩾0$, zatem wracamy do podstawienia $t=x^2$ i otrzymujemy

$x^2=2|\sqrt{}$

$\begin{array}{ccc}x=\sqrt{2}& \text{lub}& x=-\sqrt{2}\end{array}$

Wnioskujemy, że

$x\in \left\{-\sqrt{2},\sqrt{2}\right\}$

---

e)

Dane jest równanie

$4x^4+7x^2-2=0$

Zastosujemy podstawienie 

$t=x^2,t⩾0$

Wobec tego otrzymujemy równanie ze zmienną $t.$

$4t^2+7t-2=0$

Obliczamy wyróżnik trójmianu kwadratowego.

$\Delta =7^2-4\cdot 4\cdot \left(-2\right)=$

$=49+32=81$

zatem

$\sqrt{\Delta }=\sqrt{81}=9$

Skoro $\Delta >0$, to równanie kwadratowe ma dwa rozwiązania.

$t_1=\frac{-7-9}{2\cdot 4}=$

$=\frac{-16}{8}=-2$

$t_2=\frac{-7+9}{2\cdot 4}=$

$=\frac{2}{8}=\frac{1}{4}$

Zauważamy, że tylko jedno rozwiązanie równania spełniają założenie $t⩾0$, zatem wracamy do podstawienia $t=x^2$ i otrzymujemy

$x^2=\frac{1}{4}|\sqrt{}$

$\begin{array}{ccc}x=\frac{1}{2}& \text{lub}& x=-\frac{1}{2}\end{array}$

Wnioskujemy, że

$x\in \left\{-\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right\}$

---

f)

Dane jest równanie

$9x^4-8x^2-1=0$

Zastosujemy podstawienie 

$t=x^2,t⩾0$

Wobec tego otrzymujemy równanie ze zmienną $t.$

$9t^2-8t-1=0$

Obliczamy wyróżnik trójmianu kwadratowego.

$\Delta ={\left(-8\right)}^2-4\cdot 9\cdot \left(-1\right)=$

$=64+36=100$

zatem

$\sqrt{\Delta }=\sqrt{100}=10$

Skoro $\Delta >0$, to równanie kwadratowe ma dwa rozwiązania.

$t_1=\frac{-\left(-8\right)-10}{2\cdot 9}=$

$=\frac{8-10}{18}=$

$=\frac{-2}{18}=-\frac{1}{9}$

$t_2=\frac{-\left(-8\right)+10}{2\cdot 9}=$

$=\frac{8+10}{18}=$

$=\frac{18}{18}=1$

Zauważamy, że tylko jedno rozwiązanie równania spełniają założenie $t⩾0$, zatem wracamy do podstawienia $t=x^2$ i otrzymujemy

$x^2=1|\sqrt{}$

$\begin{array}{ccc}x=1& \text{lub}& x=-1\end{array}$

Wnioskujemy, że

$x\in \left\{-1,1\right\}$