a)

Dana jest nierówność

$\frac{x-5}{x-3}⩾0$

Zakładamy, że

$x-3\ne 0$

$x\ne 3$

Rozwiązujemy nierówność.

$\left(x-5\right)\left(x-3\right)⩾0$

Wyznaczamy miejsca zerowe funkcji znajdującej się po lewej stronie nierówności.

$\left(x-5\right)\left(x-3\right)=0$

$\begin{array}{ccc}x=5& \text{lub}& x=3\end{array}$

Zaznaczamy otrzymane pierwiastki na osi $OX$ oraz szkicujemy pomocniczo wykres funkcji.

 

Odczytujemy zbiór rozwiązań nierówności.

$x\in \left(-\infty ,3\right)\cup \left[5,\infty \right)$ 

---

b)

Dana jest nierówność

$\frac{x+2}{x+6}<0$

Zakładamy, że

$x+6\ne 0$

$x\ne -6$

Rozwiązujemy nierówność.

$\left(x+2\right)\left(x+6\right)<0$

Wyznaczamy miejsca zerowe funkcji znajdującej się po lewej stronie nierówności.

$\left(x+2\right)\left(x+6\right)=0$

$\begin{array}{ccc}x=-2& \text{lub}& x=-6\end{array}$

Zaznaczamy otrzymane pierwiastki na osi $OX$ oraz szkicujemy pomocniczo wykres funkcji.

 

Odczytujemy zbiór rozwiązań nierówności.

$x\in \left(-6,-2\right)$ 

---

c)

Dana jest nierówność

$\frac{x-3}{x+1}⩾\frac{1}{2}$

Zakładamy, że

$x+1\ne 0$

$x\ne -1$

Rozwiązujemy nierówność.

$\frac{x-3}{x+1}-\frac{1}{2}⩾0$

$\frac{2\left(x-3\right)}{2\left(x+1\right)}-\frac{x+1}{2\left(x+1\right)}⩾0$

$\frac{2x-6-x-1}{2\left(x+1\right)}⩾0$

$\frac{x-7}{2\left(x+1\right)}⩾0$

$2\left(x+1\right)\left(x-7\right)⩾0$

Wyznaczamy miejsca zerowe funkcji znajdującej się po lewej stronie nierówności.

$2\left(x+1\right)\left(x-7\right)=0$

$\begin{array}{ccc}x=-1& \text{lub}& x=7\end{array}$

Zaznaczamy otrzymane pierwiastki na osi $OX$ oraz szkicujemy pomocniczo wykres funkcji.

Odczytujemy zbiór rozwiązań nierówności.

$x\in \left(-\infty ,-1\right)\cup \left[7,\infty \right)$ 

---

d)

Dana jest nierówność

$\frac{x+2}{x-1}<-2$

Zakładamy, że

$x-1\ne 0$

$x\ne 1$

Rozwiązujemy nierówność.

$\frac{x+2}{x-1}+2<0$

$\frac{x+2}{x-1}+\frac{2\left(x-1\right)}{x-1}<0$

$\frac{x+2+2x-2}{x-1}<0$

$\frac{3x}{x-1}<0$

$3x\left(x-1\right)<0$

Wyznaczamy miejsca zerowe funkcji znajdującej się po lewej stronie nierówności.

$3x\left(x-1\right)=0$

$\begin{array}{ccc}x=0& \text{lub}& x=1\end{array}$

Zaznaczamy otrzymane pierwiastki na osi $OX$ oraz szkicujemy pomocniczo wykres funkcji.

Odczytujemy zbiór rozwiązań nierówności.

$x\in \left(0,1\right)$

---

e)

Dana jest nierówność

$x-\frac{1}{x}<0$

Zakładamy, że

$x\ne 0$

Rozwiązujemy nierówność.

$\frac{x^2}{x}-\frac{1}{x}<0$

$\frac{x^2-1}{x}<0$

$x\left(x^2-1\right)<0$

Wyznaczamy miejsca zerowe funkcji znajdującej się po lewej stronie nierówności.

$x\left(x^2-1\right)=0$

$x\left(x-1\right)\left(x+1\right)=0$

$\begin{array}{ccccc}x=0& \text{lub}& x=1& \text{lub}& x=-1\end{array}$

Zaznaczamy otrzymane pierwiastki na osi $OX$ oraz szkicujemy pomocniczo wykres funkcji.

Odczytujemy zbiór rozwiązań nierówności.

$x\in \left(-\infty ,-1\right)\cup \left(0,1\right)$

---

f)

Dana jest nierówność

$x+\frac{1}{x}⩾2$

Zakładamy, że

$x\ne 0$

Rozwiązujemy nierówność.

$\frac{x^2}{x}+\frac{1}{x}⩾2$

$\frac{x^2+1}{x}⩾2$

$\frac{x^2+1}{x}-2⩾0$

$\frac{x^2+1}{x}-\frac{2x}{x}⩾0$

$\frac{x^2-2x+1}{x}⩾0$

$x\left(x^2-2x+1\right)⩾0$

$x{\left(x-1\right)}^2⩾0$

Wyznaczamy miejsca zerowe funkcji znajdującej się po lewej stronie nierówności.

$x{\left(x-1\right)}^2=0$

$\begin{array}{ccc}x=0& \text{lub}& x=1\end{array}$

Zauważmy, że pierwiastek $x=1$ jest pierwiastkiem dwukrotnym.

Zaznaczamy otrzymane pierwiastki na osi $OX$ oraz szkicujemy pomocniczo wykres funkcji.

Odczytujemy zbiór rozwiązań nierówności.

$x\in \left(0,\infty \right)$