a)

Dana jest nierówność

$3x^2+2x-1⩽0$

Wyznaczamy miejsca zerowe trójmianu kwadratowego znajdującego się po lewej stronie nierówności.

$3x^2+2x-1=0$

$\Delta =2^2-4\cdot 3\cdot \left(-1\right)=$

$=4+12=16$

Wobec tego

$\sqrt{\Delta }=\sqrt{16}=4$

Skoro $\Delta >0$, to trójmian kwadratowy ma dwa miejsca zerowe.

$x_1=\frac{-2-4}{2\cdot 3}=$

$=\frac{-6}{6}=-1$

$x_2=\frac{-2+4}{2\cdot 3}=$

$=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$

Zaznaczamy pierwiastki trójmianu kwadratowego na osi $OX.$ Współczynnik przy $x^2$ jest dodatni, więc szkicujemy parabolę o ramionach skierowanych w górę.

Z wykresu odczytujemy zbiór rozwiązań nierówności.

$x\in \left[-1,\frac{1}{3}\right]$

---

b)

Dana jest nierówność

$2x^2+5x-3>0$

Wyznaczamy miejsca zerowe trójmianu kwadratowego znajdującego się po lewej stronie nierówności.

$2x^2+5x-3=0$

$\Delta =5^2-4\cdot 2\cdot \left(-3\right)=$

$=25+24=49$

Wobec tego

$\sqrt{\Delta }=\sqrt{49}=7$

Skoro $\Delta >0$, to trójmian kwadratowy ma dwa miejsca zerowe.

$x_1=\frac{-5-7}{2\cdot 2}=$

$=\frac{-12}{4}=-3$

$x_2=\frac{-5+7}{2\cdot 2}=$

$=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$

Zaznaczamy pierwiastki trójmianu kwadratowego na osi $OX.$ Współczynnik przy $x^2$ jest dodatni, więc szkicujemy parabolę o ramionach skierowanych w górę.

Z wykresu odczytujemy zbiór rozwiązań nierówności.

$x\in \left(-\infty ,-3\right)\cup \left(\frac{1}{2},\infty \right)$

---

c)

Dana jest nierówność

$-4x^2+5x-1<0$

Wyznaczamy miejsca zerowe trójmianu kwadratowego znajdującego się po lewej stronie nierówności.

$-4x^2+5x-1=0$

$\Delta =5^2-4\cdot \left(-4\right)\cdot \left(-1\right)=$

$=25-16=9$

Wobec tego

$\sqrt{\Delta }=\sqrt{9}=3$

Skoro $\Delta >0$, to trójmian kwadratowy ma dwa miejsca zerowe.

$x_1=\frac{-5-3}{2\cdot \left(-4\right)}=$

$=\frac{-8}{-8}=1$

$x_2=\frac{-5+3}{2\cdot \left(-4\right)}=$

$=\frac{-2}{-8}=\frac{1}{4}$

Zaznaczamy pierwiastki trójmianu kwadratowego na osi $OX.$ Współczynnik przy $x^2$ jest ujemny, więc szkicujemy parabolę o ramionach skierowanych w dół.

Z wykresu odczytujemy zbiór rozwiązań nierówności.

$x\in \left(-\infty ,\frac{1}{4}\right)\cup \left(1,\infty \right)$

---

d)

Dana jest nierówność

$-x^2+4x+1⩾0$

Wyznaczamy miejsca zerowe trójmianu kwadratowego znajdującego się po lewej stronie nierówności.

$-x^2+4x+1=0$

$\Delta =4^2-4\cdot (-1)\cdot 1=$

$=16+4=20$

Wobec tego

$\sqrt{\Delta }=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$

Skoro $\Delta >0$, to trójmian kwadratowy ma dwa miejsca zerowe.

$x_1=\frac{-4-2\sqrt{5}}{2\cdot \left(-1\right)}=$

$=\frac{-2\left(2+\sqrt{5}\right)}{-2}=$

$=2+\sqrt{5}$

$x_2=\frac{-4+2\sqrt{5}}{2\cdot \left(-1\right)}=$

$=\frac{-2\left(2-\sqrt{5}\right)}{-2}=$

$=2-\sqrt{5}$

Zaznaczamy pierwiastki trójmianu kwadratowego na osi $OX.$ Współczynnik przy $x^2$ jest ujemny, więc szkicujemy parabolę o ramionach skierowanych w dół.

Z wykresu odczytujemy zbiór rozwiązań nierówności.

$x\in \left[2-\sqrt{5},2+\sqrt{5}\right]$

---

e)

Dana jest nierówność

$-x^2+\frac{1}{2}x+3<0$

Wyznaczamy miejsca zerowe trójmianu kwadratowego znajdującego się po lewej stronie nierówności.

$-x^2+\frac{1}{2}x+3=0$

$\Delta ={\left(\frac{1}{2}\right)}^2-4\cdot \left(-1\right)\cdot 3=$

$=\frac{1}{4}+12=\frac{1}{4}+\frac{48}{4}=\frac{49}{4}$

Wobec tego

$\sqrt{\Delta }=\sqrt{\frac{49}{4}}=\frac{7}{2}$

Skoro $\Delta >0$, to trójmian kwadratowy ma dwa miejsca zerowe.

$x_1=\frac{-\frac{1}{2}-\frac{7}{2}}{2\cdot (-1)}=\frac{-\frac{8}{2}}{-2}=$

$=\frac{-4}{-2}=2$

$x_2=\frac{-\frac{1}{2}+\frac{7}{2}}{2\cdot \left(-1\right)}=\frac{\frac{6}{2}}{-2}=$

$=\frac{3}{-2}=-\frac{3}{2}$

Zaznaczamy pierwiastki trójmianu kwadratowego na osi $OX.$ Współczynnik przy $x^2$ jest ujemny, więc szkicujemy parabolę o ramionach skierowanych w dół.

Z wykresu odczytujemy zbiór rozwiązań nierówności.

$x\in \left(-\infty ,-\frac{3}{2}\right)\cup \left(2,\infty \right)$

---

f)

Dana jest nierówność

$5x^2-3x-1>0$

Wyznaczamy miejsca zerowe trójmianu kwadratowego znajdującego się po lewej stronie nierówności.

$5x^2-3x-1=0$

$\Delta ={\left(-3\right)}^2-4\cdot 5\cdot \left(-1\right)=$

$=9+20=29$

Wobec tego

$\sqrt{\Delta }=\sqrt{29}$

Skoro $\Delta >0$, to trójmian kwadratowy ma dwa miejsca zerowe.

$x_1=\frac{-\left(-3\right)-\sqrt{29}}{2\cdot 5}=$

$=\frac{3-\sqrt{29}}{10}$

$x_2=\frac{-\left(-3\right)+\sqrt{29}}{2\cdot 5}=$

$=\frac{3+\sqrt{29}}{10}$

Zaznaczamy pierwiastki trójmianu kwadratowego na osi $OX.$ Współczynnik przy $x^2$ jest dodatni, więc szkicujemy parabolę o ramionach skierowanych w górę.

Z wykresu odczytujemy zbiór rozwiązań nierówności.

$x\in \left(-\infty ,\frac{3-\sqrt{29}}{10}\right)\cup \left(\frac{3+\sqrt{29}}{10},\infty \right)$

---

g)

Dana jest nierówność

$x^2+5x-5<0$

Wyznaczamy miejsca zerowe trójmianu kwadratowego znajdującego się po lewej stronie nierówności.

$x^2+5x-5=0$

$\Delta =5^2-4\cdot 1\cdot \left(-5\right)=$

$=25+20=45$

Wobec tego

$\sqrt{\Delta }=\sqrt{45}=3\sqrt{5}$

Skoro $\Delta >0$, to trójmian kwadratowy ma dwa miejsca zerowe.

$x_1=\frac{-5-3\sqrt{5}}{2\cdot 1}=$

$=\frac{-5-3\sqrt{5}}{2}$

$x_2=\frac{-5+3\sqrt{5}}{2\cdot 1}=$

$=\frac{-5+3\sqrt{5}}{2}$

Zaznaczamy pierwiastki trójmianu kwadratowego na osi $OX.$ Współczynnik przy $x^2$ jest dodatni, więc szkicujemy parabolę o ramionach skierowanych w górę.

Z wykresu odczytujemy zbiór rozwiązań nierówności.

$x\in \left(\frac{-5-3\sqrt{5}}{2},\frac{-5+3\sqrt{5}}{2}\right)$

---

h)

Dana jest nierówność

$-x^2+2x+7⩽0$

Wyznaczamy miejsca zerowe trójmianu kwadratowego znajdującego się po lewej stronie nierówności.

$-x^2+2x+7=0$

$\Delta =2^2-4\cdot \left(-1\right)\cdot 7=$

$=4+28=32$

Wobec tego

$\sqrt{\Delta }=\sqrt{32}=4\sqrt{2}$

Skoro $\Delta >0$, to trójmian kwadratowy ma dwa miejsca zerowe.

$x_1=\frac{-2-4\sqrt{2}}{2\cdot \left(-1\right)}=$

$=\frac{-2\left(1+2\sqrt{2}\right)}{-2}=$

$=1+2\sqrt{2}$

$x_2=\frac{-2+4\sqrt{2}}{2\cdot \left(-1\right)}=$

$=\frac{-2\left(1-2\sqrt{2}\right)}{-2}=$

$=1-2\sqrt{2}$

Zaznaczamy pierwiastki trójmianu kwadratowego na osi $OX.$ Współczynnik przy $x^2$ jest ujemny, więc szkicujemy parabolę o ramionach skierowanych w dół.

Z wykresu odczytujemy zbiór rozwiązań nierówności.

$x\in \left(-\infty ,1-2\sqrt{2}\right]\cup \left[1+2\sqrt{2},\infty \right)$

---

i)

Dana jest nierówność

$2x^2-\frac{3}{2}x-\frac{1}{4}<0$

Wyznaczamy miejsca zerowe trójmianu kwadratowego znajdującego się po lewej stronie nierówności.

$2x^2-\frac{3}{2}x-\frac{1}{4}=0$

$\Delta ={\left(-\frac{3}{2}\right)}^2-4\cdot 2\cdot \left(-\frac{1}{4}\right)=$

$=\frac{9}{4}+2=\frac{9}{4}+\frac{8}{4}=\frac{17}{4}$

Wobec tego

$\sqrt{\Delta }=\sqrt{\frac{17}{4}}=\frac{\sqrt{17}}{2}$

Skoro $\Delta >0$, to trójmian kwadratowy ma dwa miejsca zerowe

$x_1=\frac{-\left(-\frac{3}{2}\right)-\frac{\sqrt{17}}{2}}{2\cdot 2}=$

$=\frac{\frac{3}{2}-\frac{\sqrt{17}}{2}}{4}=$

$=\frac{\frac{3-\sqrt{17}}{2}}{4}=$

$=\frac{3-\sqrt{17}}{2}\cdot \frac{1}{4}=$

$=\frac{3-\sqrt{17}}{8}$

$x_2=\frac{-\left(-\frac{3}{2}\right)+\frac{\sqrt{17}}{2}}{2\cdot 2}=$

$=\frac{\frac{3}{2}+\frac{\sqrt{17}}{2}}{4}=$

$=\frac{\frac{3+\sqrt{17}}{2}}{4}=$

$=\frac{3+\sqrt{17}}{2}\cdot \frac{1}{4}=$

$=\frac{3+\sqrt{17}}{8}$

Zaznaczamy pierwiastki trójmianu kwadratowego na osi $OX.$ Współczynnik przy $x^2$ jest dodatni, więc szkicujemy parabolę o ramionach skierowanych w górę.

Z wykresu odczytujemy zbiór rozwiązań nierówności.

$x\in \left(\frac{3-\sqrt{17}}{8},\frac{3+\sqrt{17}}{8}\right)$