a)

Rozwiązujemy równanie.

$\left|x+1\right|-\left|x\right|=0$

Rozpatrzymy trzy przypadki.

Przypadek I

Zakładamy, że

$x\in \left(-\infty ,-1\right)$

Wtedy równanie możemy zapisać w postaci

$-x-1+x=0$

$-1=0$

Powyższe równanie jest sprzeczne.

Przypadek II

Zakładamy, że

$x\in \left[-1,0\right)$

Wtedy równanie możemy zapisać w postaci

$x+1+x=0$

$2x=-1$

$x=-\frac{1}{2}$

Powyższe równanie jest sprzeczne.

Przypadek III

Zakładamy, że

$x\in \left[0,\infty \right)$

Wtedy równanie możemy zapisać w postaci

$x+1-x=0$

$1=0$

Powyższe równanie jest sprzeczne.

Wnioskujemy, że

$\underline{\underline{x=-\frac{1}{2}}}$

---

b)

Rozwiązujemy równanie.

$\left|x\right|+\left|x+5\right|=7$

Rozpatrzymy trzy przypadki.

Przypadek I

Zakładamy, że

$x\in \left(-\infty ,-5\right)$

Wtedy równanie możemy zapisać w postaci

$-x-x-5=7$

$-2x=12$

$x=-6$

Przypadek II

Zakładamy, że

$x\in \left[-5,0\right)$

Wtedy równanie możemy zapisać w postaci

$-x+x+5=7$

$5=7$

Powyższe równanie jest sprzeczne.

Przypadek III

Zakładamy, że

$x\in \left[0,\infty \right)$

Wtedy równanie możemy zapisać w postaci

$x+x+5=7$

$2x=2$

$x=1$

Wnioskujemy, że

$\underline{\underline{x\in \left\{-6,1\right\}}}$

---

c)

Rozwiązujemy równanie.

$\left|x\right|-\left|x-4\right|=2$

Rozpatrzymy trzy przypadki.

Przypadek I

Zakładamy, że

$x\in \left(-\infty ,0\right)$

Wtedy równanie możemy zapisać w postaci

$-x+x-4=2$

$-4=2$

Powyższe równanie jest sprzeczne,

Przypadek II

Zakładamy, że

$x\in \left[0,4\right)$

Wtedy równanie możemy zapisać w postaci

$x+x-4=2$

$2x=6$

$x=3$

Przypadek III

Zakładamy, że

$x\in \left[4,\infty \right)$

Wtedy równanie możemy zapisać w postaci

$x-x+4=2$

$4=2$

Powyższe równanie jest sprzeczne.

Wnioskujemy, że

$\underline{\underline{x=3}}$

---

d)

Rozwiązujemy równanie.

$\left|x+3\right|+\left|x\right|=3$

Rozpatrzymy trzy przypadki.

Przypadek I

Zakładamy, że

$x\in \left(-\infty ,-3\right)$

Wtedy równanie możemy zapisać w postaci

$-x-3-x=3$

$-2x=6$

$x=-3$

Zauważamy, że

$x=-3\notin \left(-\infty ,-3\right)$

Przypadek II

Zakładamy, że

$x\in \left[-3,0\right)$

Wtedy równanie możemy zapisać w postaci

$x+3-x=3$

$3=3$

Powyższe równanie jest tożsamościowe, a więc

$x\in \left[-3,0\right)$

Przypadek III

Zakładamy, że

$x\in \left[0,\infty \right)$

Wtedy równanie możemy zapisać w postaci

$x+3+x=3$

$2x=0$

$x=0$

Wnioskujemy, że

$\underline{\underline{x\in \left[-3,0\right]}}$

---

e)

Rozwiązujemy równanie.

$\left|x-2\right|+\left|x+2\right|=4$

Rozpatrzymy trzy przypadki.

Przypadek I

Zakładamy, że

$x\in \left(-\infty ,-2\right)$

Wtedy równanie możemy zapisać w postaci

$-x+2-x-2=4$

$-2x=4$

$x=-2$

Zauważamy, że

$x=-2\notin \left(-\infty ,-2\right)$

Przypadek II

Zakładamy, że

$x\in \left[-2,2\right)$

Wtedy równanie możemy zapisać w postaci

$-x+2+x+2=4$

$4=4$

Powyższe równanie jest tożsamościowe, a więc

$x\in \left[-2,2\right)$

Przypadek III

Zakładamy, że

$x\in \left[2,\infty \right)$

Wtedy równanie możemy zapisać w postaci

$x-2+x+2=4$

$2x=4$

$x=2$

Wnioskujemy, że

$\underline{\underline{x\in \left[-2,2\right]}}$

---

f)

Rozwiązujemy równanie.

$\left|2x+4\right|-\left|x-1\right|=3$

$\left|2\left(x+2\right)\right|-\left|x-1\right|=3$

$2\left|x+2\right|-\left|x-1\right|=3$

Rozpatrzymy trzy przypadki.

Przypadek I

Zakładamy, że

$x\in \left(-\infty ,-2\right)$

Wtedy równanie możemy zapisać w postaci

$2\left(-x-2\right)+x-1=3$

$-2x-4+x-1=3$

$-x-5=3$

$x=-8$

Przypadek II

Zakładamy, że

$x\in \left[-2,1\right)$

Wtedy równanie możemy zapisać w postaci

$2\left(x+2\right)+x-1=3$

$2x+4+x-1=3$

$3x+3=3$

$3x=0$

$x=0$

Przypadek III

Zakładamy, że

$x\in \left[1,\infty \right)$

Wtedy równanie możemy zapisać w postaci

$2\left(x+2\right)-x+1=3$

$2x+4-x+1=3$

$x+5=3$

$x=-2$

Zauważamy, że

$x=-2\notin \left[1,\infty \right)$

Wnioskujemy, że

$\underline{\underline{x\in \left\{-8,0\right\}}}$