a)

Dana jest funkcja

$f\left(x\right)=\frac{2x^6-1}{3x^2-6}$

Powyższy wzór funkcji ma sens liczbowy, gdy wyrażenie znajdujące się w mianowniku ułamka jest różne od zera. Wobec tego zakładamy, że

$3x^2-6\ne 0$

$3x^2\ne 6$

$x^2\ne 2$

$\left|x\right|\ne \sqrt{2}$

$\begin{array}{ccc}x\ne -\sqrt{2}& \text{i}& x\ne \sqrt{2}\end{array}$

Otrzymujemy, że

$D_f=\mathbb{R}\backslash \left\{-\sqrt{2},\sqrt{2}\right\}$

---

b)

Dana jest funkcja

$f\left(x\right)=\frac{x-1}{x^4-16}$

Powyższy wzór funkcji ma sens liczbowy, gdy wyrażenie znajdujące się w mianowniku ułamka jest różne od zera. Wobec tego zakładamy, że

$x^4-16\ne 0$

$x^4\ne 16$

$\left|x\right|\ne 2$

$\begin{array}{ccc}x\ne -2& \text{i}& x\ne 2\end{array}$

Otrzymujemy, że

$D_f=\mathbb{R}\backslash \left\{-2,2\right\}$

---

c)

Dana jest funkcja

$f\left(x\right)=\frac{2x^2-x}{4x^3+x^2}$

Powyższy wzór funkcji ma sens liczbowy, gdy wyrażenie znajdujące się w mianowniku ułamka jest różne od zera. Wobec tego zakładamy, że

$4x^3+x^2\ne 0$

$x^2\left(4x+1\right)\ne 0$

$\begin{array}{ccc}x\ne 0& \text{i}& x\ne -\frac{1}{4}\end{array}$

Otrzymujemy, że

$D_f=\mathbb{R}\backslash \left\{-\frac{1}{4},0\right\}$

---

d)

Dana jest funkcja

$f\left(x\right)=\frac{3x^2-2x+1}{x^4+1}$

Powyższy wzór funkcji ma sens liczbowy, gdy wyrażenie znajdujące się w mianowniku ułamka jest różne od zera. Wobec tego zakładamy, że

$x^4+1\ne 0$

$x^4\ne -1$

Wiemy, że $x^4$ jest zawsze nieujemne, a więc jest na pewno różne od $1$ dla każdej liczby rzeczywistej $x.$

Otrzymujemy, że

$D_f=\mathbb{R}$

---

e)

Dana jest funkcja

$f\left(x\right)=\frac{x^2-4}{x^3-2x^2+x}$

Powyższy wzór funkcji ma sens liczbowy, gdy wyrażenie znajdujące się w mianowniku ułamka jest różne od zera. Wobec tego zakładamy, że

$x^3-2x^2+x\ne 0$

$x\left(x^2-2x+1\right)\ne 0$

$x{\left(x-1\right)}^2\ne 0$

$\begin{array}{ccc}x\ne 0& \text{i}& x\ne 1\end{array}$

Otrzymujemy, że

$D_f=\mathbb{R}\backslash \left\{0,1\right\}$

---

f)

Dana jest funkcja

$f\left(x\right)=\frac{x^3+x}{x^3+7x^2-6}$

Powyższy wzór funkcji ma sens liczbowy, gdy wyrażenie znajdujące się w mianowniku ułamka jest różne od zera. Wobec tego zakładamy, że

$x^3+7x^2-6\ne 0$

$x^3+x^2+6x^2-6\ne 0$

$x^2\left(x+1\right)+6\left(x^2-1\right)\ne 0$

$x^2\left(x+1\right)+6\left(x-1\right)\left(x+1\right)\ne 0$

$\left(x+1\right)\left(x^2+6\left(x-1\right)\right)\ne 0$

$\left(x+1\right)\left(x^2+6x-6\right)\ne 0$

$\begin{array}{ccc}x\ne -1& \text{i}& x^2+6x-6\ne 0\end{array}$

Rozwiązujemy równanie kwadratowe.

$\Delta =6^2-4\cdot 1\cdot \left(-6\right)=$

$=36+24=60$

$\sqrt{\Delta }=\sqrt{60}=$

$=\sqrt{4\cdot 15}=2\sqrt{15}$

$x_1=\frac{-6-2\sqrt{15}}{2\cdot 1}=$

$=\frac{2\left(-3-\sqrt{15}\right)}{2}=$

$=-3-\sqrt{15}$

$x_2=\frac{-6+2\sqrt{15}}{2\cdot 1}=$

$=\frac{2\left(-3+\sqrt{15}\right)}{2}=$

$=-3+\sqrt{15}$

Wnioskujemy, że

$D_f=\mathbb{R}\backslash \left\{-3-\sqrt{15},-3+\sqrt{15},-1\right\}$