Rozwiązujemy nierówność:

$x^4+4x^3-4x-1\le 0$

$x^4-1^4+4x\left(x^2-1\right)\le 0$

${\left(x^2\right)}^2-{\left(1^2\right)}^2+4x\left(x^2-1\right)\le 0$ 

$\left(x^2-1\right)\left(x^2+1\right)+4x\left(x^2-1\right)\le 0$

$\left(x^2-1\right)\left(x^2+1+4x\right)\le 0$

Znajdźmy pierwiastki wielomianu:

$w\left(x\right)=\left(x^2-1\right)\left(x^2+4x+1\right)$

$\left(x^2-1\right)\left(x^2+4x+1\right)=0$

$x^2-1=0\text{lub}{x}^2+4x+1=0$

Zajmijmy się pierwszą równością:

$x^2=1$

$x=1\text{lub}x=-1$

Zajmijmy się teraz rozwiązaniem równania kwadratowego:

$x^2+4x+1=0$

$\Delta =4^2-4\cdot 1\cdot 1=16-4=12$

$\sqrt{\Delta }=\sqrt{12}=\sqrt{4\cdot 3}=2\sqrt{3}$

$x_1=\frac{-4-2\sqrt{3}}{2}=-2-\sqrt{3}$

$x_2=\frac{-4+2\sqrt{3}}{2}=-2+\sqrt{3}$

Zatem pierwiastkami wielomianu $w$ są liczby: $-2-\sqrt{3}$, $-1$, $-2+\sqrt{3}$ i $1$. Są to pierwiastki jednokrotne.

Narysujemy przybliżony wykres wielomianu. Współczynnik przy $x^4$ jest dodatni, więc zaczynamy rysowanie wykresu od prawej strony od góry.

Poniżej znajduje się przybliżony wykres tego wielomianu:

Z wykresu odczytujemy zbiór rozwiązań nierówności (czyli zbiór tych argumentów, dla których wykres znajduje się pod osią $x$ lub na osi $x$):

$x\in \left[-2-\sqrt{3},-1\right]\cup \left[-2+\sqrt{3},1\right]$