Objętość pudełka A to:

$V=6\cdot 4\cdot 3=72\left[{\text{cm}}^3\right]$

Pudełko B ma każdy wymiar o $x\text{cm}$ mniejszy niż wymiary pudełka A.

Zapiszmy jego wymiary (pominiemy jednostki dla ułatwienia):

$6-x\times 4-x\times 3-x$

Zatem objętość wyrażona za pomocą zmiennej $x$ to:

$V\left(x\right)=\left(6-x\right)\left(4-x\right)\left(3-x\right)=$

$=\left(24-6x-4x+x^2\right)\left(3-x\right)=$

$=72-24x-18x+6x^2-12x+4x^2+3x^2-x^3=$

$=-x^3+13x^2-54x+72$

Wiemy, że długości krawędzi muszą być liczbami dodatnimi, więc:

$\begin{array}{ccccc}6-x>0& \text{i}& 4-x>0& \text{i}& 3-x>0\\ x<6& & x<4& & x<3\end{array}$

Zatem $x\in \left(0,3\right)$.

Wiemy, że objętość prostopadłościanu B jest o $42{\mathrm{cm}}^3$ mniejsza od objętość pudełka A. Zatem:

$-x^3+13x^2-54x+72=72-42$

$-x^3+13x^2-54x+72=30$

$-x^3+13x^2-54x+42=0$

Znajdźmy pierwiastki wielomianu:

$w\left(x\right)=-x^3+13x^2-54x+42$

Sprawdzamy, czy któryś z dzielników wyrazu wolnego jest pierwiastkiem wielomianu $w$:

$w\left(1\right)=-1^3+13\cdot 1^2-54\cdot 1+42=$

$=-1+13-54+42=0$

Liczba $1$ jest pierwiastkiem wielomianu $w$, więc wielomian $w$ jest podzielny przez dwumian $x-1$, co wynika z twierdzenie Bézouta.

Wykonajmy sposobem pisemnym to dzielenie:

$\begin{array}{c}\underline{-x^2+12x-42}\\ \left(-x^3+13x^2-54x+42\right):\left(x-1\right)\\ \underline{x^3-x^2}\\ 12x^2-54x+42\\ \underline{-12x^2+12x}\\ -42x+42\\ \underline{42x-42}\\ 0\end{array}$

Mamy:

$w\left(x\right)=-x^3+13x^2-54x+42=\left(x-1\right)\left(-x^2+12x-42\right)$

Otrzymany trójmian kwadratowy nie ma pierwiastków, ponieważ:

$\Delta =12^2-4\cdot \left(-1\right)\cdot \left(-42\right)=144-168=-24<0$  

Zatem rozwiązaniem równania jest liczba $1$.

$1\in \left(0,3\right)$

 Odp.: $x=1$.