a)

Dane jest równanie

$x^2+3x-18=0$

Obliczamy wyróżnik trójmianu kwadratowego.

$\Delta =3^2-4\cdot 1\cdot \left(-18\right)=$

$=9+72=81$

Wobec tego

$\sqrt{\Delta }=\sqrt{81}=9$

Skoro $\Delta >0$, to trójmian kwadratowy ma dwa pierwiastki.

$x_1=\frac{-3-9}{2\cdot 1}=$

$=\frac{-12}{2}=-6$

$x_2=\frac{-3+9}{2\cdot 1}=$

$=\frac{6}{2}=3$

Wnioskujemy, że

$x\in \left\{-6,3\right\}$

---

b)

Dane jest równanie

$2x^2+3x-2=0$

Obliczamy wyróżnik trójmianu kwadratowego.

$\Delta =3^2-4\cdot 2\cdot \left(-2\right)=$

$=9+16=25$

Wobec tego

$\sqrt{\Delta }=\sqrt{25}=5$

Skoro $\Delta >0$, to trójmian kwadratowy ma dwa pierwiastki.

$x_1=\frac{-3-5}{2\cdot 2}=$

$=\frac{-8}{4}=-2$

$x_2=\frac{-3+5}{2\cdot 2}=$

$=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$

Wnioskujemy, że

$x\in \left\{-2,\frac{1}{2}\right\}$ 

---

c)

Dane jest równanie

$5x^2-11x+2=0$

Obliczamy wyróżnik trójmianu kwadratowego.

$\Delta ={\left(-11\right)}^2-4\cdot 5\cdot 2=$

$=121-40=81$

Wobec tego

$\sqrt{\Delta }=\sqrt{81}=9$

Skoro $\Delta >0$, to trójmian kwadratowy ma dwa pierwiastki.

$x_1=\frac{-\left(-11\right)-9}{2\cdot 5}=$

$=\frac{11-9}{10}=\frac{2}{10}=\frac{1}{5}$

$x_2=\frac{-\left(-11\right)+9}{2\cdot 5}=$

$=\frac{11+9}{10}=\frac{20}{10}=2$

Wnioskujemy, że

$x\in \left\{\frac{1}{5},2\right\}$ 

---

d)

Dane jest równanie

$4x^2-12x+9=0$

Obliczamy wyróżnik trójmianu kwadratowego.

$\Delta ={\left(-12\right)}^2-4\cdot 4\cdot 9=$

$=144-144=0$

Skoro $\Delta =0$, to trójmian kwadratowy ma jeden pierwiastek.

$x_{}=\frac{-\left(-12\right)}{2\cdot 4}=$

$=\frac{12}{8}=\frac{3}{2}$

Wnioskujemy, że

$x=\frac{3}{2}$ 

---

e)

Dane jest równanie

$x^2+3x-2=0$

Obliczamy wyróżnik trójmianu kwadratowego.

$\Delta =3^2-4\cdot 1\cdot \left(-2\right)=$

$=9+8=17$

Wobec tego

$\sqrt{\Delta }=\sqrt{17}$

Skoro $\Delta >0$, to trójmian kwadratowy ma dwa pierwiastki.

$x_1=\frac{-3-\sqrt{17}}{2\cdot 1}=$

$=\frac{-3-\sqrt{17}}{2}$

$x_2=\frac{-3+\sqrt{17}}{2\cdot 1}=$

$=\frac{-3+\sqrt{17}}{2}$

Wnioskujemy, że

$x\in \left\{\frac{-3-\sqrt{17}}{2},\frac{-3+\sqrt{17}}{2}\right\}$ 

---

f)

Dane jest równanie

$2x^2+4x-1=0$

Obliczamy wyróżnik trójmianu kwadratowego.

$\Delta =4^2-4\cdot 2\cdot \left(-1\right)=$

$=16+8=24$

Wobec tego

$\sqrt{\Delta }=\sqrt{24}=\sqrt{4\cdot 6}=2\sqrt{6}$

Skoro $\Delta >0$, to trójmian kwadratowy ma dwa pierwiastki.

$x_1=\frac{-4-2\sqrt{6}}{2\cdot 2}=$

$=\frac{\cancel{2}\left(-2-\sqrt{6}\right)}{\cancel{2}\cdot 2}=$

$=\frac{-2-\sqrt{6}}{2}$

$x_2=\frac{-4+2\sqrt{6}}{2\cdot 2}=$

$=\frac{\cancel{2}\left(-2+\sqrt{6}\right)}{\cancel{2}\cdot 2}=$

$=\frac{-2+\sqrt{6}}{2}$

Wnioskujemy, że

$x\in \left\{\frac{-2-\sqrt{6}}{2},\frac{-2+\sqrt{6}}{2}\right\}$ 

---

g)

Dane jest równanie

$2x^2-5x+4=0$

Obliczamy wyróżnik trójmianu kwadratowego.

$\Delta ={\left(-5\right)}^2-4\cdot 2\cdot 4=$

$=25-32=-7$

Skoro $\Delta <0$, to trójmian kwadratowy nie ma pierwiastków.

Wnioskujemy, że podane równanie jest sprzeczne (nie ma rozwiązań).

---

h)

Dane jest równanie

$3x^2-2x-\frac{1}{2}=0$

Obliczamy wyróżnik trójmianu kwadratowego.

$\Delta ={\left(-2\right)}^2-4\cdot 3\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)=$

$=4+6=10$

Wobec tego

$\sqrt{\Delta }=\sqrt{10}$

Skoro $\Delta >0$, to trójmian kwadratowy ma dwa pierwiastki.

$x_1=\frac{-\left(-2\right)-\sqrt{10}}{2\cdot 3}=$

$=\frac{2-\sqrt{10}}{6}$

$x_2=\frac{-\left(-2\right)+\sqrt{10}}{2\cdot 3}=$

$=\frac{2+\sqrt{10}}{6}$

Wnioskujemy, że

$x\in \left\{\frac{2-\sqrt{10}}{6},\frac{2+\sqrt{10}}{6}\right\}$

---

i)

Dane jest równanie

$x^2-3\sqrt{2}x+4=0$

Obliczamy wyróżnik trójmianu kwadratowego.

$\Delta ={\left(-3\sqrt{2}\right)}^2-4\cdot 1\cdot 4=$

$=18-16=2$

Wobec tego

$\sqrt{\Delta }=\sqrt{2}$

Skoro $\Delta >0$, to trójmian kwadratowy ma dwa pierwiastki.

$x_1=\frac{-\left(-3\sqrt{2}\right)-\sqrt{2}}{2\cdot 1}=$

$=\frac{3\sqrt{2}-\sqrt{2}}{2}=$

$=\frac{2\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}$

$x_2=\frac{-\left(-3\sqrt{2}\right)+\sqrt{2}}{2\cdot 1}=$

$=\frac{3\sqrt{2}+\sqrt{2}}{2}=$

$=\frac{4\sqrt{2}}{2}=2\sqrt{2}$

Wnioskujemy, że

$x\in \left\{\sqrt{2},2\sqrt{2}\right\}$