Wymiary kartonu podane są w decymetrach. Dla ułatwienia, w trakcie obliczeń pominiemy jednostki.

Rysunek pomocniczy:

Suma długości wszystkich krawędzi prostopadłościanu jest równa $40\text{dm}$, stąd:

$8x+4H=40|:4$

$2x+H=10$

$H=10-2x$

---

a) 

Objętość prostopadłościanu wyraża się wzorem:

$V\left(x\right)=x^2\cdot H=x^2\left(10-2x\right)=$

$=10x^2-2x^3=-2x^3+10x^2$

Długości krawędzi prostopadłościanu muszą być liczbami dodatnimi. Stąd:

$\begin{array}{ccc}x>0& \text{i}& 10-2x>0\\ & & 10>2x|:2\\ & & x<5\end{array}$

Zatem $D=\left(0,5\right)$.

Odp.: $V\left(x\right)=-2x^3+10x^2,D=\left(0,5\right)$.

---

b) 

Objętość prostopadłościanu jest równa $36{\text{dm}}^3$. Więc:

$V\left(x\right)=36$

$-2x^3+10x^2=36$  

$-2x^3+10x^2-36=0|:\left(-2\right)$

$x^3-5x^2+18=0$  

Szukamy pierwiastków wielomianu:

$w\left(x\right)=x^3-5x^2+18$

Sprawdzamy, czy któryś z dzielników wyrazu wolnego jest pierwiastkiem wielomianu $w$:

$w\left(1\right)=1-5+18=14\ne 0$  

$w\left(2\right)=2^3-5\cdot 2^2+18=8-5\cdot 4+18=$

$=26-20=6\ne 0$

$w\left(3\right)=3^3-5\cdot 3^2+18=27-5\cdot 9+18=$

$=45-45=0$

Liczba $3$ jest pierwiastkiem wielomianu $w$, więc wielomian $w$ jest podzielny przez dwumian $x-3$, co wynika z twierdzenie Bézouta.

Wykonujemy to dzielenie sposobem pisemnym:

$\begin{array}{c}\underline{x^2-2x-6}\\ \left(x^3-5x^2+18\right):\left(x-3\right)\\ \underline{-x^3+3x^2}\\ -2x^2+18\\ \underline{2x^2-6x}\\ -6x+18\\ \underline{6x-18}\\ 0\end{array}$

Otrzymujemy:

$w\left(x\right)=x^3-5x^2+18=\left(x-3\right)\left(x^2-2x-6\right)$

Obliczamy pierwiastki trójmianu kwadratowego znajdującego się w drugim nawiasie:

$\Delta ={\left(-2\right)}^2-4\cdot 1\cdot \left(-6\right)=4+24=28$

$\sqrt{\Delta }=2\sqrt{7}$  

$x_1=\frac{2-2\sqrt{7}}{2}=1-\sqrt{7}\notin D$

$x_2=\frac{2+2\sqrt{7}}{2}=1+\sqrt{7}\in D$

Odp.: Objętość prostopadłościanu wynosi $36{\text{dm}}^3$ dla $x=3$ oraz $x=1+\sqrt{7}$.