Na początku wyjaśnijmy, jak można określić znak wyrażenia $x-a$ w przedziale $\left(p,q\right)$. 

Możemy obliczyć wartość badanego wyrażenia dla dowolnej liczby z tego przedziału - znak otrzymanej liczby będzie znakiem wyrażenia $x-a$ w tym przedziale.

Przykład: Dla wyrażenia $x-3$ i przedziału $\left(4,6\right)$ możemy obliczyć wartość wyrażenia dla $x=5\in \left(4,6\right)$. Mamy wtedy: $5-3=2$. Liczba $2$ jest dodatnia, więc wyrażenie $x-3$ przyjmuje dodatnią wartość w przedziale $\left(4,6\right)$. 

---

a)

Rozwiążemy nierówność:

$x\left(2x+1\right)\left(x+6\right)<0$  

$2x\left(x+\frac{1}{2}\right)\left(x+6\right)<0|:2$  

$x\left(x+\frac{1}{2}\right)\left(x+6\right)<0$  

Oznaczmy:

$w\left(x\right)=x\left(x+\frac{1}{2}\right)\left(x+6\right)$

Odczytujemy, że pierwiastkami wielomianu $w$ są liczby: $0$, $-\frac{1}{2}$ i $-6$.

Tworzymy siatkę znaków:

	$\left(-\infty ,-6\right)$	$-6$	$\left(-6,-\frac{1}{2}\right)$	$-\frac{1}{2}$	$\left(-\frac{1}{2},0\right)$	$0$	$\left(0,\infty \right)$
$x$	$-$	$-$	$-$	$-$	$-$	$0$	$+$
$x+\frac{1}{2}$	$-$	$-$	$-$	$0$	$+$	$+$	$+$
$x+6$	$-$	$0$	$+$	$+$	$+$	$+$	$+$
$w\left(x\right)$	$-$	$0$	$+$	$0$	$-$	$0$	$+$

Z ostatniego wiersza tabeli odczytujemy, dla jakich argumentów $w\left(x\right)<0$:

$x\in \left(-\infty ,-6\right)\cup \left(-\frac{1}{2},0\right)$  

---

b)

Rozwiążemy nierówność:

$\left(2-3x\right)\left(x^2-2\right)\ge 0$  

$-3\left(x-\frac{2}{3}\right)\left(x-\sqrt{2}\right)\left(x+\sqrt{2}\right)\ge 0|:\left(-3\right)$  

$\left(x-\frac{2}{3}\right)\left(x-\sqrt{2}\right)\left(x+\sqrt{2}\right)\le 0$  

Oznaczmy:

$w\left(x\right)=\left(x-\frac{2}{3}\right)\left(x-\sqrt{2}\right)\left(x+\sqrt{2}\right)$

Odczytujemy, że pierwiastkami wielomianu $w$ są liczby: $\frac{2}{3}$, $\sqrt{2}$ i $-\sqrt{2}$.

Tworzymy siatkę znaków:

	$\left(-\infty ,-\sqrt{2}\right)$	$-\sqrt{2}$	$\left(-\sqrt{2},\frac{2}{3}\right)$	$\frac{2}{3}$	$\left(\frac{2}{3},\sqrt{2}\right)$	$\sqrt{2}$	$\left(\sqrt{2},\infty \right)$
$x+\sqrt{2}$	$-$	$0$	$+$	$+$	$+$	$+$	$+$
$x-\frac{2}{3}$	$-$	$-$	$-$	$0$	$+$	$+$	$+$
$x-\sqrt{2}$	$-$	$-$	$-$	$-$	$-$	$0$	$+$
$w\left(x\right)$	$-$	$0$	$+$	$0$	$-$	$0$	$+$

Z ostatniego wiersza tabeli odczytujemy, dla jakich argumentów $w\left(x\right)\le 0$:

$x\in \left(-\infty ,-\sqrt{2}\right]\cup \left[\frac{2}{3},\sqrt{2}\right]$  

---

c)

Rozwiążemy nierówność:

$\left(x^2-4\right){\left(x-3\right)}^2>0$  

$\left(x+2\right)\left(x-2\right){\left(x-3\right)}^2>0$  

Oznaczmy:

$w\left(x\right)=\left(x+2\right)\left(x-2\right){\left(x-3\right)}^2$

Odczytujemy, że pierwiastkami wielomianu $w$ są liczby: $-2$, $2$ i $3$.

Tworzymy siatkę znaków:

	$\left(-\infty ,-2\right)$	$-2$	$\left(-2,2\right)$	$2$	$\left(2,3\right)$	$3$	$\left(3,\infty \right)$
$x+2$	$-$	$0$	$+$	$+$	$+$	$+$	$+$
$x-2$	$-$	$-$	$-$	$0$	$+$	$+$	$+$
${\left(x-3\right)}^2$	$+$	$+$	$+$	$+$	$+$	$0$	$+$
$w\left(x\right)$	$+$	$0$	$-$	$0$	$+$	$0$	$+$

Z ostatniego wiersza tabeli odczytujemy, dla jakich argumentów $w\left(x\right)>0$:

$x\in \left(-\infty ,-2\right)\cup \left(2,3\right)\cup \left(3,\infty \right)$  

---

d)

Rozwiążemy nierówność:

$x^4-5x^3+4x^2\le 0$  

$x^2\left(x^2-5x+4\right)\le 0$  

Rozkładamy trójmian znajdujący się w nawiasie na czynniki:

$\Delta ={\left(-5\right)}^2-4\cdot 1\cdot 4=25-16=9$

$\sqrt{\Delta }=3$

$x_1=\frac{5-3}{2}=\frac{2}{2}=1$

$x_2=\frac{5+3}{2}=\frac{8}{2}=4$

Zatem:

$x^2-5x+4=\left(x-1\right)\left(x-4\right)$  

Nierówność przyjmuje postać:

$x^2\left(x-1\right)\left(x-4\right)\le 0$  

Oznaczmy:

$w\left(x\right)=x^2\left(x-1\right)\left(x-4\right)$

Odczytujemy, że pierwiastkami wielomianu $w$ są liczby: $0$, $1$ i $4$.

Tworzymy siatkę znaków:

	$\left(-\infty ,0\right)$	$0$	$\left(0,1\right)$	$1$	$\left(1,4\right)$	$4$	$\left(4,\infty \right)$
$x^2$	$+$	$0$	$+$	$+$	$+$	$+$	$+$
$x-1$	$-$	$-$	$-$	$0$	$+$	$+$	$+$
$x-4$	$-$	$-$	$-$	$-$	$-$	$0$	$+$
$w\left(x\right)$	$+$	$0$	$+$	$0$	$-$	$0$	$+$

Z ostatniego wiersza tabeli odczytujemy, dla jakich argumentów $w\left(x\right)\le 0$:

$x\in \left\{0\right\}\cup \left[1,4\right]$  

---

e)

Rozwiążemy nierówność:

$x^3+3x^2-4>0$  

$x^3-x^2+4x^2-4>0$  

$x^2\left(x-1\right)+4\left(x^2-1\right)>0$  

$x^2\left(x-1\right)+4\left(x-1\right)\left(x+1\right)>0$  

$\left(x-1\right)\left[x^2+4\left(x+1\right)\right]>0$  

$\left(x-1\right)\left(x^2+4x+4\right)>0$  

$\left(x-1\right){\left(x+2\right)}^2>0$  

Oznaczmy:

$w\left(x\right)=\left(x-1\right){\left(x+2\right)}^2$

Odczytujemy, że pierwiastkami wielomianu $w$ są liczby: $-2$ i $1$.

Tworzymy siatkę znaków:

	$\left(-\infty ,-2\right)$	$-2$	$\left(-2,1\right)$	$1$	$\left(1,\infty \right)$
${\left(x+2\right)}^2$	$+$	$0$	$+$	$+$	$+$
$x-1$	$-$	$-$	$-$	$0$	$+$
$w\left(x\right)$	$-$	$0$	$-$	$0$	$+$

Z ostatniego wiersza tabeli odczytujemy, dla jakich argumentów $w\left(x\right)>0$:

$x\in \left(1,\infty \right)$  

---

f)

Rozwiążemy nierówność:

$x^3+3x^2-9x-27\le 0$  

$x^2\left(x+3\right)-9\left(x+3\right)\le 0$  

$\left(x+3\right)\left(x^2-9\right)\le 0$  

$\left(x+3\right)\left(x+3\right)\left(x-3\right)\le 0$  

${\left(x+3\right)}^2\left(x-3\right)\le 0$  

Oznaczmy:

$w\left(x\right)={\left(x+3\right)}^2\left(x-3\right)$

Odczytujemy, że pierwiastkami wielomianu $w$ są liczby: $-3$ i $3$.

Tworzymy siatkę znaków:

	$\left(-\infty ,-3\right)$	$-3$	$\left(-2,3\right)$	$3$	$\left(3,\infty \right)$
${\left(x+3\right)}^2$	$+$	$0$	$+$	$+$	$+$
$x-3$	$-$	$-$	$-$	$0$	$+$
$w\left(x\right)$	$-$	$0$	$-$	$0$	$+$

Z ostatniego wiersza tabeli odczytujemy, dla jakich argumentów $w\left(x\right)\le 0$:

$x\in (-\infty ,3]$  

---

g)

Rozwiążemy nierówność:

$x^3-7x-6<0$  

$x^3-x-6x-6<0$  

$x\left(x^2-1\right)-6\left(x+1\right)<0$  

$x\left(x-1\right)\left(x+1\right)-6\left(x+1\right)<0$  

$\left(x+1\right)\left[x\left(x-1\right)-6\right]<0$  

$\left(x+1\right)\left(x^2-x-6\right)<0$  

Rozkładamy trójmian znajdujący się w drugim nawiasie na czynniki:

$\Delta ={\left(-1\right)}^2-4\cdot 1\cdot \left(-6\right)=1+24=25$

$\sqrt{\Delta }=5$

$x_1=\frac{1-5}{2}=\frac{-4}{2}=-2$

$x_2=\frac{1+5}{2}=\frac{6}{2}=3$

Zatem:

$x^2-x-6=\left(x+2\right)\left(x-3\right)$  

Nierówność przyjmuje postać:

$\left(x+1\right)\left(x+2\right)\left(x-3\right)<0$  

Oznaczmy:

$w\left(x\right)=\left(x+1\right)\left(x+2\right)\left(x-3\right)$

Odczytujemy, że pierwiastkami wielomianu $w$ są liczby: $-1$, $-2$ i $3$.

Tworzymy siatkę znaków:

	$\left(-\infty ,-2\right)$	$-2$	$\left(-2,-1\right)$	$-1$	$\left(-1,3\right)$	$3$	$\left(3,\infty \right)$
$x+2$	$-$	$0$	$+$	$+$	$+$	$+$	$+$
$x+1$	$-$	$-$	$-$	$0$	$+$	$+$	$+$
$x-3$	$-$	$-$	$-$	$-$	$-$	$0$	$+$
$w\left(x\right)$	$-$	$0$	$+$	$0$	$-$	$0$	$+$

Z ostatniego wiersza tabeli odczytujemy, dla jakich argumentów $w\left(x\right)<0$:

$x\in \left(-\infty ,-2\right)\cup \left(-1,3\right)$  

---

h)

Rozwiążemy nierówność:

$\left(x^2-4\right)\left(x^2+x-12\right)\ge 0$  

$\left(x-2\right)\left(x+2\right)\left(x^2+x-12\right)\ge 0$  

Rozkładamy trójmian znajdujący się w trzecim nawiasie na czynniki:

$\Delta =1^2-4\cdot 1\cdot \left(-12\right)=1+48=49$

$\sqrt{\Delta }=7$

$x_1=\frac{-1-7}{2}=\frac{8}{2}=-4$

$x_2=\frac{-1+7}{2}=\frac{6}{2}=3$

Zatem:

$x^2+x-12=\left(x+4\right)\left(x-3\right)$  

Nierówność przyjmuje postać:

$\left(x-2\right)\left(x+2\right)\left(x+4\right)\left(x-3\right)\ge 0$  

Oznaczmy:

$w\left(x\right)=\left(x-2\right)\left(x+2\right)\left(x+4\right)\left(x-3\right)$

Odczytujemy, że pierwiastkami wielomianu $w$ są liczby: $2$, $-2$, $4$ i $3$.

Tworzymy siatkę znaków:

	$\left(-\infty ,-4\right)$	$-4$	$\left(-4,-2\right)$	$-2$	$\left(-2,2\right)$	$2$	$\left(2,3\right)$	$3$	$\left(3,\infty \right)$
$x+4$	$-$	$0$	$+$	$+$	$+$	$+$	$+$	$+$	$+$
$x+2$	$-$	$-$	$-$	$0$	$+$	$+$	$+$	$+$	$+$
$x-2$	$-$	$-$	$-$	$-$	$-$	$0$	$+$	$+$	$+$
$x-3$	$-$	$-$	$-$	$-$	$-$	$-$	$-$	$0$	$+$
$w\left(x\right)$	$+$	$0$	$-$	$0$	$+$	$0$	$-$	$0$	$+$

Z ostatniego wiersza tabeli odczytujemy, dla jakich argumentów $w\left(x\right)\ge 0$:

$x\in \left(-\infty ,-4\right]\cup \left[-2,2\right]\cup \left[3,\infty \right)$