a)

Wyznaczmy pierwiastki wielomianu:

$w\left(x\right)=x^3+3x^2+x-1$

Wykorzystajmy twierdzenie o pierwiastkach całkowitych wielomianu.

Dzielnikami wyrazu wolnego wielomianu $w$ są liczby $-1$ i $1$. Sprawdzamy, czy któraś z tych liczb jest pierwiastkiem tego wielomianu:

$w\left(-1\right)={\left(-1\right)}^3+3\cdot {\left(-1\right)}^2-1-1=$

$=-1+3-1-1=0$

Liczba $-1$ jest pierwiastkiem wielomianu $w$, więc wielomian $w$ jest podzielny przez dwumian $x+1$, co wynika z twierdzenie Bézouta.

Wykonujemy to dzielenie sposobem pisemnym:

$\begin{array}{c}\underline{x^2+2x-1}\\ \left(x^3+3x^2+x-1\right):\left(x+1\right)\\ \underline{-x^3-x^2}\\ 2x^2+x-1\\ \underline{-2x^2-2x}\\ -x-1\\ \underline{x+1}\\ 0\end{array}$   

Otrzymujemy:

$w\left(x\right)=x^3+3x^2+x-1=$  

$=\left(x+1\right)\left(x^2+2x-1\right)$

Obliczamy pierwiastki trójmianu znajdującego się w drugim nawiasie:

$\Delta =2^2-4\cdot 1\cdot \left(-1\right)=4+4=8$  

$\sqrt{\Delta }=\sqrt{4\cdot 2}=2\sqrt{2}$

$x_1=\frac{-2-2\sqrt{2}}{2}=-1-\sqrt{2}$

$x_2=\frac{-2+2\sqrt{2}}{2}=-1+\sqrt{2}$

Zatem:

$x^2+2x-1=\left(x+1+\sqrt{2}\right)\left(x+1-\sqrt{2}\right)$

Zapiszmy wzór wielomianu $w$:

$w\left(x\right)=\left(x+1\right)\left(x+1+\sqrt{2}\right)\left(x+1-\sqrt{2}\right)$

Pierwiastki wielomianu $w$ to: $-1-\sqrt{2}$, $-1$ i $-1+\sqrt{2}$.

Rysujemy przybliżony wykres wielomianu $w$. Współczynnik przy $x^3$ jest dodatni, więc zaczynamy rysowanie wykresu od prawej strony od góry.

Poniżej znajduje się przybliżony wykres wielomianu $w$:

Z wykresu odczytujemy zbiór rozwiązań nierówności (czyli odczytujemy, dla jakich argumentów wykres znajduje się pod osią $x$ lub na osi $x$):

$w\left(x\right)\le 0\text{dla}x\in \left(-\infty ,-1-\sqrt{2}\right]\cup \left[-1,-1+\sqrt{2}\right]$

---

b)

Wyznaczmy pierwiastki wielomianu:

$w\left(x\right)=x^3+8x^2+17x+4$  

Wykorzystajmy twierdzenie o pierwiastkach całkowitych wielomianu.

Dzielnikami wyrazu wolnego wielomianu $w$ są liczby $-4$, $-2$, $-1$, $1$, $2$ i $4$. Sprawdzamy, czy któraś z tych liczb jest pierwiastkiem tego wielomianu:

$w\left(-1\right)={\left(-1\right)}^3+8\cdot {\left(-1\right)}^2+17\cdot \left(-1\right)+4=$

$=-1+8-17+4\ne 0$

$w\left(-2\right)={\left(-2\right)}^3+8\cdot {\left(-2\right)}^2+17\cdot \left(-2\right)+4=$

$=-8+8\cdot 4-34+4=-8+32-30\ne 0$

$w\left(-4\right)={\left(-4\right)}^3+8\cdot {\left(-4\right)}^2+17\cdot \left(-4\right)+4=$

$=-64+8\cdot 16-68+4=-64+128-64=0$

Liczba $-4$ jest pierwiastkiem wielomianu $w$, więc wielomian $w$ jest podzielny przez dwumian $x+4$, co wynika z twierdzenie Bézouta.

Wykonujemy to dzielenie sposobem pisemnym:

$\begin{array}{c}\underline{x^2+4x+1}\\ \left(x^3+8x^2+17x+4\right):\left(x+4\right)\\ \underline{-x^3-4x^2}\\ 4x^2+17x+4\\ \underline{-4x^2-16x}\\ x+4\\ \underline{-x-4}\\ 0\end{array}$   

Otrzymujemy:

$w\left(x\right)=x^3+8x^2+17x+4=\left(x+4\right)\left(x^2+4x+1\right)$  

Obliczamy pierwiastki trójmianu znajdującego się w drugim nawiasie:

$\Delta =4^2-4\cdot 1\cdot 1=16-4=12$  

$\sqrt{\Delta }=\sqrt{4\cdot 3}=2\sqrt{3}$

$x_1=\frac{-4-2\sqrt{3}}{2}=-2-\sqrt{3}$

$x_2=\frac{-4+2\sqrt{3}}{2}=-2+\sqrt{3}$

Zatem:

$x^2+4x+1=\left(x+2+\sqrt{3}\right)\left(x+2-\sqrt{3}\right)$

Zapiszmy wzór wielomianu $w$:

$w\left(x\right)=\left(x+4\right)\left(x+2+\sqrt{3}\right)\left(x+2-\sqrt{3}\right)$  

Pierwiastki wielomianu to: $-4$, $-2-\sqrt{3}$ i $-2+\sqrt{3}$.

Rysujemy przybliżony wykres wielomianu $w$. Współczynnik przy $x^3$ jest dodatni, więc zaczynamy rysowanie wykresu od prawej strony od góry.

Poniżej znajduje się przybliżony wykres wielomianu $w$:

Z wykresu odczytujemy zbiór rozwiązań nierówności (czyli odczytujemy, dla jakich argumentów wykres znajduje się pod osią $x$ lub na osi $x$):

$w\left(x\right)\le 0\text{dla}x\in \left(-\infty ,-4\right]\cup \left[-2-\sqrt{3},-2+\sqrt{3}\right]$

---

c)

Wyznaczmy pierwiastki wielomianu:

$w\left(x\right)=x^3-2x^2-2x-3$  

Wykorzystajmy twierdzenie o pierwiastkach całkowitych wielomianu.

Dzielnikami wyrazu wolnego wielomianu $w$ są liczby $-3$, $-1$, $1$ i $3$. Sprawdzamy, czy któraś z tych liczb jest pierwiastkiem tego wielomianu:

$w\left(1\right)=1-2-2-3\ne 0$  

$w\left(3\right)=3^3-2\cdot 3^2-2\cdot 3-3=$  

$=27-2\cdot 9-6-3=27-18-9=0$

Liczba $3$ jest pierwiastkiem wielomianu $w$, więc wielomian $w$ jest podzielny przez dwumian $x-3$, co wynika z twierdzenie Bézouta.

Wykonujemy to dzielenie sposobem pisemnym:

$\begin{array}{c}\underline{x^2+x+1}\\ \left(x^3-2x^2-2x-3\right):\left(x-3\right)\\ \underline{-x^3+3x^2}\\ x^2-2x-3\\ \underline{-x^2+3x}\\ x-3\\ \underline{-x+3}\\ 0\end{array}$

Otrzymujemy:

$w\left(x\right)=x^3-2x^2-2x-3=\left(x-3\right)\left(x^2+x+1\right)$

Trójmian znajdujący się w drugim nawiasie nie ma pierwiastków, ponieważ:

$\Delta =1-4=-3<0$  

Pierwiastkiem wielomianu $w$ jest w takim razie tylko liczba $3$.

Rozwiązujemy nierówność:

$w\left(x\right)\le 0$  

$\left(x-3\right)\left(x^2+x+1\right)\le 0|:\left(x^2+x+1\right),x^2+x+1>0$

Wiemy, że:

$x^2+x+1>0$

ponieważ współczynnik przy $x^2$ jest dodatni oraz $\Delta >0$. Możemy więc bezpiecznie podzielić obie strony nierówności przez ten trójmian.

Otrzymujemy wtedy:

$x-3\le 0$

$x\le 3$

Otrzymujemy więc:

$x\in \left(-\infty ,3\right]$

---

d)

Wyznaczmy pierwiastki wielomianu:

$w\left(x\right)=-x^4+2x^3-4x^2+8x$

Możemy zapisać:

$w\left(x\right)=-x^4+2x^3-4x^2+8x=$  

$=-x\left(x^3-2x^2+4x-8\right)=-x\left[x^2\left(x-2\right)+4\left(x-2\right)\right]=$

$=-x\left(x-2\right)\left(x^2+4\right)$

Z postaci iloczynowej odczytujemy, że pierwiastkami wielomianu $w$ są liczby: $0$ i $2$.

Wiemy, że:

$x^2+4>0$

Rozwiązujemy nierówność:

$w\left(x\right)\le 0$

$-x\left(x-2\right)\left(x^2+4\right)\le 0|:\left(x^2+4\right),x^2+4>0$

$-x\left(x-2\right)\le 0$  

Naszkicujmy wykres funkcji danej wzorem $y=-x\left(x-2\right)$. Poniżej znajduje się przybliżony wykres tej funkcji:

Z wykresu odczytujemy zbiór rozwiązań nierówności (czyli odczytujemy, dla jakich argumentów wykres znajduje się pod osią $x$ lub na osi $x$):

$w\left(x\right)\le 0\text{dla}x\in \left(-\infty ,0\right]\cup \left[2,\infty \right]$