Nanieśmy na rysunek pomocnicze oznaczenia:

---

a)

Po złożeniu podstawą pudełka jest prostokąt o bokach $30-2x$ i $40-2x$. Wysokość pudełka wynosi $x$.

Objętość pudełka wyraża się wzorem:

$V\left(x\right)=x\left(30-2x\right)\left(40-2x\right)=x\left(1200-60x-80x+4x^2\right)=x\left(1200-140x+4x^2\right)=1200x-140x^2+4x^3=4x^3-140x^2+1200x$  

Długości krawędzi pudełka muszą być liczbami dodatnimi. Stąd:

$\{\begin{array}{l}x>0\\ 30-2x>0\\ 40-2x>0\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}x>0\\ 30>2x\mid :2\\ 40>2x\mid :2\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}x>0\\ 15>x\\ 20>x\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}x>0\\ x<15\\ x<20\end{array}$  

Zatem:

$x\in \left(0,15\right)$  

$D=\left(0,15\right)$  

Otrzymujemy:

$V\left(x\right)=4x^3-140x^2+1200x,D=\left(0,15\right)$  

---

b)

Z rysunku odczytujemy, że w dziedzinie $D=\left(0,15\right)$ wielomian przyjmuje największą wartość dla $x=5$ ($V\left(5\right)=3000$).

Wówczas krawędzie pudełka mają długości:

$30-2x=30-2\cdot 5=30-10=20$  

$40-2x=40-2\cdot 5=40-10=30$  

$x=5$  

Odp.: Pudełko ma wymiary $5\mathrm{cm}\times 20\mathrm{cm}\times 30\mathrm{cm}$.

---

c)

$V\left(10\right)=4\cdot {10}^3-140\cdot {10}^2+1200\cdot 10=4000-14000+12000=2000$  

$V\left(2,5\right)=4\cdot {\left(2,5\right)}^3-140\cdot {\left(2,5\right)}^2+1200\cdot 2,5=62,5-875+3000=2187,5$  

Otrzymujemy:

$V\left(10\right)<V\left(2,5\right)$  

Odp.: Nierówność nie jest spełniona.