a)

Długości krawędzi prostopadłościanu są liczbami dodatnimi, więc zakładamy, że:

$\{\begin{array}{l}a>0\\ b>0\\ c>0\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}x-1>0\\ x+1>0\\ x>0\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}x>1\\ x>-1\\ x>0\end{array}$  

Stąd:

$\underline{x>1}$  

Objętość tego prostopadłościanu wyraża się wzorem:

$V\left(x\right)=abc=\left(x-1\right)\left(x+1\right)x=\left(x^2-1\right)x=x^3-x$  

Otrzymujemy:

$V\left(x\right)=x^3-x\text{dla}x>1$  

---

b)

Długości krawędzi prostopadłościanu są liczbami dodatnimi, więc zakładamy, że:

$\{\begin{array}{l}a>0\\ b>0\\ c>0\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}x+1>0\\ x+2>0\\ x+3>0\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}x>-1\\ x>-2\\ x>-3\end{array}$  

Stąd:

$\underline{x>-1}$  

Objętość tego prostopadłościanu wyraża się wzorem:

$V\left(x\right)=abc=\left(x+1\right)\left(x+2\right)\left(x+3\right)=\left(x^2+2x+x+2\right)\left(x+3\right)=\left(x^2+3x+2\right)\left(x+3\right)=x^3+3x^2+3x^2+9x+2x+6=x^3+6x^2+11x+6$  

Otrzymujemy:

$V\left(x\right)=x^3+6x^2+11x+6\text{dla}x>-1$  

---

c)

Długości krawędzi prostopadłościanu są liczbami dodatnimi, więc zakładamy, że:

$\{\begin{array}{l}a>0\\ b>0\\ c>0\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}2x+1>0\\ \frac{1}{2}x+1>0\\ 2x-1>0\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}2x>-1\mid :2\\ \frac{1}{2}x>-1\mid \cdot 2\\ 2x>1\mid :2\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}x>-\frac{1}{2}\\ x>-2\\ x>\frac{1}{2}\end{array}$  

Stąd:

$\underline{x>\frac{1}{2}}$  

Objętość tego prostopadłościanu wyraża się wzorem:

$V\left(x\right)=abc=\left(2x+1\right)\left(\frac{1}{2}x+1\right)\left(2x-1\right)=\left(2x+1\right)\left(2x-1\right)\left(\frac{1}{2}x+1\right)=\left(4x^2-1\right)\left(\frac{1}{2}x+1\right)=4x^2\left(\frac{1}{2}x+1\right)-1\left(\frac{1}{2}x+1\right)=2x^3+4x^2-\frac{1}{2}x-1$  

Otrzymujemy:

$V\left(x\right)=2x^3+4x^2-\frac{1}{2}x-1\text{dla}x>\frac{1}{2}$  

---

d)

Długości krawędzi prostopadłościanu są liczbami dodatnimi, więc zakładamy, że:

$\{\begin{array}{l}a>0\\ b>0\\ c>0\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}x+3>0\\ x+3>0\\ x^2-9>0\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}x+3>0\\ x^2-9>0\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}x>-3\\ x^2>9\mid \sqrt{}\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}x>-3\\ \left|x\right|>3\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}x>-3\\ x>3\text{lub}x<-3\end{array}$  

Stąd:

$\underline{x>3}$  

Objętość tego prostopadłościanu wyraża się wzorem:

$V\left(x\right)=abc=\left(x+3\right)\left(x+3\right)\left(x^2-9\right)={\left(x+3\right)}^2\left(x^2-9\right)=\left(x^2+6x+9\right)\left(x^2-9\right)=x^2\left(x^2+6x+9\right)-9\left(x^2+6x+9\right)=x^4+6x^3+9x^2-9x^2-54x-81=x^4+6x^3-54x-81$  

Otrzymujemy:

$V\left(x\right)=x^4+6x^3-54x-81\text{dla}x>3$