Wyznacz zbiór...- Zadanie 9: NOWA MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy

Rozwiązanie

Dana jest funkcja:

$f (x) = x^{2} - 8 x$

Obliczmy współrzędne wierzchołka paraboli, która jest wykresem funkcji $f$ . Mamy:

$p = - \frac{b}{2 a} = - \frac{- 8}{2 \cdot 1} = \frac{8}{2} = 4$

$q = f (p) = f (4) = 4^{2} - 8 \cdot 4 = 16 - 32 = - 16$

Zatem współrzędne wierzchołka paraboli, będącej wykresem funkcji $f$ , to $(4, - 16)$ .

Widzimy, że $a = 1$ , czyli $a > 0$ . Zatem:

funkcja $f$ maleje w przedziale $(- \infty; 4]$ oraz rośnie w przedziale $[4; \infty)$ ,
zbiorem wartości funkcji $f$ jest przedział $[- 16; \infty)$ .

Dana jest funkcja:

$f (x) = 6 x - x^{2}$

Obliczmy współrzędne wierzchołka paraboli, która jest wykresem funkcji $f$ . Mamy:

$p = - \frac{b}{2 a} = - \frac{6}{2 \cdot ( - 1 )} = - \frac{6}{- 2} = 3$

$q = f (p) = f (3) = 6 \cdot 3 - 3^{2} = 18 - 9 = 9$

Zatem współrzędne wierzchołka paraboli, będącej wykresem funkcji $f$ , to $(3, 9)$ .

Widzimy, że $a = - 1$ , czyli $a < 0$ . Zatem:

funkcja $f$ rośnie w przedziale $(- \infty; 3]$ oraz maleje w przedziale $[3; \infty)$ ,
zbiorem wartości funkcji $f$ jest przedział $(- \infty; 9]$ .

Dana jest funkcja:

$f (x) = 3 x^{2} + 6 x - 2$

Obliczmy współrzędne wierzchołka paraboli, która jest wykresem funkcji $f$ . Mamy:

$p = - \frac{b}{2 a} = - \frac{6}{2 \cdot 3} = - \frac{6}{6} = - 1$

$q = f (p) = f (- 1) = 3 \cdot (- 1)^{2} + 6 \cdot (- 1) - 2 = 3 - 6 - 2 = - 5$

Zatem współrzędne wierzchołka paraboli, będącej wykresem funkcji $f$ , to $(- 1, - 5)$ .

Widzimy, że $a = 3$ , czyli $a > 0$ . Zatem:

funkcja $f$ maleje w przedziale $(- \infty; - 1]$ oraz rośnie w przedziale $[- 1; \infty)$ ,
zbiorem wartości funkcji $f$ jest przedział $[- 5; \infty)$ .

Dana jest funkcja:

$f (x) = - 4 x^{2} + 4 x + 2$

Obliczmy współrzędne wierzchołka paraboli, która jest wykresem funkcji $f$ . Mamy:

$p = - \frac{b}{2 a} = - \frac{4}{2 \cdot ( - 4 )} = - \frac{4}{- 8} = \frac{1}{2}$

$q = f (p) = f (\frac{1}{2}) = - 4 \cdot (\frac{1}{2})^{2} + 4 \cdot \frac{1}{2} + 2 =$

$= - 4 \cdot \frac{1}{4} + 2 + 2 = - 1 + 4 = 3$

Zatem współrzędne wierzchołka paraboli, będącej wykresem funkcji $f$ , to $(\frac{1}{2}, 3)$ .

Widzimy, że $a = - 4$ , czyli $a < 0$ . Zatem:

funkcja $f$ rośnie w przedziale $(- \infty; \frac{1}{2}]$ oraz maleje w przedziale $[\frac{1}{2}; \infty)$ ,
zbiorem wartości funkcji $f$ jest przedział $(- \infty; 3]$ .

Dana jest funkcja:

$f (x) = - 2 x^{2} - 12 x + 1$

Obliczmy współrzędne wierzchołka paraboli, która jest wykresem funkcji $f$ . Mamy:

$p = - \frac{b}{2 a} = - \frac{- 12}{2 \cdot ( - 2 )} = - \frac{- 12}{- 4} = - 3$

$q = f (p) = f (- 3) = - 2 \cdot (- 3)^{2} - 12 \cdot (- 3) + 1 =$

$= - 2 \cdot 9 + 36 + 1 = - 18 + 37 = 19$

Zatem współrzędne wierzchołka paraboli, będącej wykresem funkcji $f$ , to $(- 3, 19)$ .

Widzimy, że $a = - 2$ , czyli $a < 0$ . Zatem:

funkcja $f$ rośnie w przedziale $(- \infty; - 3]$ oraz maleje w przedziale $[- 3; \infty)$ ,
zbiorem wartości funkcji $f$ jest przedział $(- \infty; 19]$ .

Dana jest funkcja:

$f (x) = \frac{1}{6} x^{2} + 2 x - 2$

Obliczmy współrzędne wierzchołka paraboli, która jest wykresem funkcji $f$ . Mamy:

$p = - \frac{b}{2 a} = - \frac{2}{2 \cdot \frac{1}{6}} = - \frac{1}{\frac{1}{6}} = - 6$

$q = f (p) = f (- 6) = \frac{1}{6} \cdot (- 6)^{2} + 2 \cdot (- 6) - 2 =$

$= \frac{1}{6} \cdot 36 - 12 - 2 = 6 - 14 = - 8$

Zatem współrzędne wierzchołka paraboli, będącej wykresem funkcji $f$ , to $(- 6, - 8)$ .

Widzimy, że $a = \frac{1}{6}$ , czyli $a > 0$ . Zatem:

funkcja $f$ maleje w przedziale $(- \infty; - 6]$ oraz rośnie w przedziale $[- 6; \infty)$ ,
zbiorem wartości funkcji $f$ jest przedział $[- 8; \infty)$ .