a)

Dana jest funkcja:

$f\left(x\right)=-x^2+4x-1$

zadana na przedziale $\left[0;4\right]$  .

Sprawdzamy, czy wierzchołek paraboli należy do danego przedziału:

$x_w=-\frac{b}{2a}=-\frac{4}{-2}=2\in \left[0;4\right]$

Wierzchołek paraboli należy do danego przedziału, więc obliczamy wartości funkcji $f$ w wierzchołku i na końcach przedziału:

$f\left(x_w\right)=f\left(2\right)=-2^2+4\cdot 2-1=-4+8-1=3$

$f\left(0\right)=-0^2+4\cdot 0-1=-1$

$f\left(4\right)=-4^2+4\cdot 4-1=-16+16-1=-1$

Otrzymujemy:

• wartość najmniejsza: $-1$,
• wartość największa: $3$.

---

Dana jest funkcja:

$g\left(x\right)=\frac{1}{2}{x}^2+x-3$

zadana na przedziale $\left[0;4\right]$  .

Sprawdzamy, czy wierzchołek paraboli należy do danego przedziału:

$x_w=-\frac{b}{2a}=-\frac{1}{2\cdot \frac{1}{2}}=-1\notin \left[0;4\right]$

Wierzchołek paraboli nie należy do danego przedziału, więc obliczamy wartości funkcji $g$ na końcach przedziału:

$g\left(0\right)=\frac{1}{2}\cdot 0^2+0-3=-3$

$g\left(4\right)=\frac{1}{2}\cdot 4^2+4-3=8+4-3=9$

Otrzymujemy:

• wartość najmniejsza: $-3$,
• wartość największa: $9$.

---

b)

Dana jest funkcja:

$f\left(x\right)=-x^2+4x-1$

zadana na przedziale $\left[-4;6\right]$  .

Sprawdzamy, czy wierzchołek paraboli należy do danego przedziału:

$x_w=-\frac{b}{2a}=-\frac{4}{-2}=2\in \left[-4;6\right]$

Wierzchołek paraboli należy do danego przedziału, więc obliczamy wartości funkcji $f$ w wierzchołku i na końcach przedziału:

$f\left(x_w\right)=f\left(2\right)=-2^2+4\cdot 2-1=-4+8-1=3$

$f\left(-4\right)=-{\left(-4\right)}^2+4\cdot \left(-4\right)-1=-16-16-1=-33$

$f\left(6\right)=-6^2+4\cdot 6-1=-36+24-1=-13$

Otrzymujemy:

• wartość najmniejsza: $-33$,
• wartość największa: $3$.

---

Dana jest funkcja:

$g\left(x\right)=\frac{1}{2}{x}^2+x-3$

zadana na przedziale $\left[-4;6\right]$  .

Sprawdzamy, czy wierzchołek paraboli należy do danego przedziału:

$x_w=-\frac{b}{2a}=-\frac{1}{2\cdot \frac{1}{2}}=-1\in \left[-4;6\right]$

Wierzchołek paraboli należy do danego przedziału, więc obliczamy wartości funkcji $g$ w wierzchołku i na końcach przedziału:

$g\left(x_w\right)=g\left(-1\right)=\frac{1}{2}\cdot {\left(-1\right)}^2-1-3=\frac{1}{2}-1-3=-\frac{7}{2}$

$g\left(-4\right)=\frac{1}{2}\cdot {\left(-4\right)}^2-4-3=8-4-3=1$

$g\left(6\right)=\frac{1}{2}\cdot 6^2+6-3=18+6-3=21$

Otrzymujemy:

• wartość najmniejsza: $-\frac{7}{2}$,
• wartość największa: $21$.