a) Oznaczmy:

$p$, $p-38$ - szukane liczby

Obliczamy iloczyn tych liczb:

$p\cdot \left(38-p\right)=-p^2+38p$

Oznaczmy:

$f\left(p\right)=-p^2+38p$

Współczynnik przy $p^2$ jest ujemny, więc ramiona paraboli będącej wykresem funkcji $f$ są skierowane do dołu. Wynika stąd, że funkcja $f$ przyjmuje wartość największą w wierzchołku paraboli.

Obliczamy współrzędne wierzchołka paraboli:

$p_w=-\frac{b}{2a}=-\frac{-38}{2\cdot \left(-1\right)}=\frac{-38}{-2}=19$

$y_w=f\left(p_w\right)=f\left(19\right)=-19^2+38\cdot 19=-361+722=361$

Największa wartość iloczynu szukanych liczb jest równa $361$.

---

b) Oznaczmy:

$p,\frac{1}{2}-p$    - szukane liczby

Obliczamy iloczyn tych liczb:

$p\cdot \left(\frac{1}{2}-p\right)=-p^2+\frac{1}{2}p$

Oznaczmy:

$f\left(p\right)=-p^2+\frac{1}{2}p$

Współczynnik przy $p^2$ jest ujemny, więc ramiona paraboli będącej wykresem funkcji $f$ są skierowane do dołu. Wynika stąd, że funkcja $f$ przyjmuje wartość największą w wierzchołku paraboli.

Obliczamy współrzędne wierzchołka paraboli:

$p_w=-\frac{b}{2a}=-\frac{\frac{1}{2}}{2\cdot \left(-1\right)}=\frac{\frac{1}{2}}{2}=\frac{1}{4}$

$y_w=f\left(p_w\right)=f\left(\frac{1}{4}\right)=-{\left(\frac{1}{4}\right)}^2+\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{4}=-\frac{1}{16}+\frac{1}{8}=-\frac{1}{16}+\frac{2}{16}=\frac{1}{16}$

Największa wartość iloczynu szukanych liczb jest równa  $\frac{1}{16}.$  

---

c) Oznaczmy:

$p,\sqrt{2}-p$ -  szukane liczby

Obliczamy iloczyn tych liczb:

$p\left(\sqrt{2}-p\right)=-p^2+\sqrt{2}p$

Oznaczmy:

$f\left(p\right)=-p^2+\sqrt{2}p$

Współczynnik przy $p^2$ jest ujemny, więc ramiona paraboli będącej wykresem funkcji $f$ są skierowane do dołu. Wynika stąd, że funkcja $f$ przyjmuje wartość największą w wierzchołku paraboli.

Obliczamy współrzędne wierzchołka paraboli:

$p_w=-\frac{b}{2a}=-\frac{\sqrt{2}}{2\cdot \left(-1\right)}=-\frac{\sqrt{2}}{-2}=\frac{\sqrt{2}}{2}$

$y_w=f\left(p_w\right)=f\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=-{\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}^2+\sqrt{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=-\frac{2}{4}+\frac{2}{2}=-\frac{1}{2}+1=\frac{1}{2}$

Największa wartość iloczynu szukanych liczb jest równa  $\frac{1}{2}$