Rozwiąż nierówność...- Zadanie 4: NOWA MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy

Rozwiązanie

Rozwiązujemy nierówność:

$x - x^{2} ⩽ 3 - 3 x^{2} ∣ - 3 + 3 x^{2}$

$2 x^{2} + x - 3 ⩽ 0$

Obliczamy miejsca zerowe trójmianu kwadratowego:

$2 x^{2} + x - 3 = 0$

$Δ = 1^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 3) = 1 + 24 = 25$

$Δ = 25 = 5$

Skoro $Δ > 0$ , to funkcja kwadratowa ma dwa miejsca zerowe.

$x_{1} = \frac{- 1 - 5}{2 \cdot 2} = \frac{- 6}{4} = - \frac{3}{2}$

$x_{2} = \frac{- 1 + 5}{2 \cdot 2} = \frac{4}{4} = 1$

Zaznaczamy miejsca zerowe funkcji kwadratowej na osi $OX$ . Współczynnik przy $x^{2}$ jest dodatni, zatem szkicujemy parabolę o ramionach skierowanych w górę.

Z wykresu odczytujemy, że funkcja przyjmuje wartości niedodatnie dla:

$x \in [- \frac{3}{2}, 1]$

Rozwiązujemy nierówność:

$- x (2 - x) > 1 - x^{2}$

$- 2 x + x^{2} > 1 - x^{2} ∣ - 1 + x^{2}$

$2 x^{2} - 2 x - 1 > 0$

Obliczamy miejsca zerowe trójmianu kwadratowego.

$2 x^{2} - 2 x - 1 = 0$

$Δ = (- 2)^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 1) = 4 + 8 = 12$

Wobec tego

$Δ = 12 = 4 \cdot 3 = 23$

Skoro $Δ > 0$ , to funkcja kwadratowa ma dwa miejsca zerowe.

$x_{1} = \frac{- ( - 2 ) - 2 3}{2 \cdot 2} = \frac{2 - 2 3}{4} = \frac{2 ( 1 - 3 )}{4} = \frac{1 - 3}{2}$

$x_{2} = \frac{- ( - 2 ) + 2 3}{2 \cdot 2} = \frac{2 + 2 3}{4} = \frac{2 ( 1 + 3 )}{4} = \frac{1 + 3}{2}$

Zaznaczamy miejsca zerowe funkcji kwadratowej na osi $OX$ . Współczynnik przy $x^{2}$ jest dodatni, zatem szkicujemy parabolę o ramionach skierowanych w górę.

Z wykresu odczytujemy, że funkcja przyjmuje wartości dodatnie dla:

$x \in (- \infty, \frac{1 - 3}{2}) \cup (\frac{1 + 3}{2}, \infty)$

Rozwiązujemy nierówność:

$(\frac{1}{3} x + \frac{1}{3})^{2} > \frac{2}{3} x - \frac{8}{3}$

Po lewej stronie nierówności, korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat sumy:

$\frac{1}{9} x^{2} + \frac{2}{9} x + \frac{1}{9} > \frac{2}{3} x - \frac{8}{3} ∣ - \frac{2}{3} x + \frac{8}{3}$

$\frac{1}{9} x^{2} + \frac{2}{9} x - \frac{2}{3} x + \frac{1}{9} + \frac{8}{3} > 0$

$\frac{1}{9} x^{2} + \frac{2}{9} x - \frac{6}{9} x + \frac{1}{9} + \frac{24}{9} > 0$

$\frac{1}{9} x^{2} - \frac{4}{9} x + \frac{25}{9} > 0 ∣ \cdot 9$

$x^{2} - 4 x + 25 > 0$

Obliczamy miejsca zerowe trójmianu kwadratowego:

$x^{2} - 4 x + 25 = 0$

$Δ = (- 4)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 25 = 16 - 100 = - 84$

Skoro $Δ < 0$ , to funkcja kwadratowa nie ma miejsc zerowych. Współczynnik przy $x^{2}$ jest dodatni, więc ramiona paraboli są skierowane w górę oraz cała parabola znajduje się nad osią $OX .$

Z wykresu odczytujemy, że dla każdego argumentu wartość funkcji jest dodatnia, więc

$x \in R$

Rozwiązujemy nierówność:

$2 - x^{2} < (2 - x)^{2}$

Po prawej stronie nierówności, korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat różnicy:

$2 - x^{2} < 4 - 4 x + x^{2} ∣ - 4 + 4 x - x^{2}$

$- 2 x^{2} + 4 x - 2 < 0 ∣ : 2$

$- x^{2} + 2 x - 1 < 0$

Obliczamy miejsca zerowe trójmianu kwadratowego:

$- x^{2} + 2 x - 1 = 0$

$Δ = 2^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 1) = 4 - 4 = 0$

Skoro $Δ = 0$ , to funkcja kwadratowa ma jedno miejsce zerowe.

$x_{0} - \frac{- 2}{2 \cdot ( - 1 )} = \frac{- 2}{- 2} = 1$

Liczba $x = 1$ jest pierwiastkiem podwójnym podanego trójmianu kwadratowego.

Zaznaczamy miejsce zerowe funkcji kwadratowej na osi $OX$ . Współczynnik przy $x^{2}$ jest ujemny, zatem szkicujemy parabolę o ramionach skierowanych w dół.

Z wykresu odczytujemy, że dla każdego argumentu poza miejscem zerowym $x = 1$ , wartość funkcji jest ujemna, więc:

$x \in R \ {1}$

Rozwiązujemy nierówność:

$(2 x + 1)^{2} + (x - 3)^{2} < 10$

Po lewej stronie nierówności stosujemy wzór skróconego mnożenia na kwadrat sumy i kwadrat różnicy:

$4 x^{2} + 4 x + 1 + x^{2} - 6 x + 9 < 10 ∣ - 10$

$5 x^{2} - 2 x < 0 ∣ : 5$

$x^{2} - \frac{2}{5} x < 0$

$x (x - \frac{2}{5}) < 0$

Obliczamy miejsca zerowe trójmianu kwadratowego.

$x (x - \frac{2}{5}) = 0$

$x = 0$ lub $x = \frac{2}{5}$

Zaznaczamy miejsca zerowe funkcji kwadratowej na osi $OX$ . Współczynnik przy $x^{2}$ jest dodatni, zatem szkicujemy parabolę o ramionach skierowanych w górę.

Z wykresu odczytujemy, że funkcja przyjmuje wartości ujemne dla

$x \in (0, \frac{2}{5})$

Rozwiązujemy nierówność:

$3 x - (1 - x)^{2} ⩾ x^{2} - 4$

Po lewej stronie nierówności stosujemy wzór skróconego mnożenia na kwadrat różnicy:

$3 x - (1 - 2 x + x^{2}) ⩾ x^{2} - 4$

$3 x - 1 + 2 x - x^{2} ⩾ x^{2} - 4 ∣ - x^{2} + 4$

$- 2 x^{2} + 5 x + 3 ⩾ 0$

Obliczamy miejsca zerowe trójmianu kwadratowego.

$- 2 x^{2} + 5 x + 3 = 0$

$Δ = 5^{2} - 4 \cdot (- 2) \cdot 3 = 25 + 24 = 49$

Wobec tego

$Δ = 49 = 7$

Skoro $Δ > 0$ , to funkcja kwadratowa ma dwa miejsca zerowe.

$x_{1} = \frac{- 5 - 7}{2 \cdot ( - 2 )} = \frac{- 12}{- 4} = 3$

$x_{2} = \frac{- 5 + 7}{2 \cdot ( - 2 )} = \frac{2}{- 4} = - \frac{1}{2}$

Zaznaczamy miejsca zerowe funkcji kwadratowej na osi $OX$ . Współczynnik przy $x^{2}$ jest ujemny, zatem szkicujemy parabolę o ramionach skierowanych w dół.