Naszkicujmy rysunek pomocniczy:

Promień $r$ okręgu wpisanego w sześciokąt foremny o boku $a$ ma długość:

$r=\frac{a\sqrt{3}}{2}$

Promień okręgu opisanego na sześciokącie foremnym ma tę samą długość, co bok tego sześciokąta, czyli:

$R=a$

Pole sześciokąta foremnego o boku $a$ wynosi:

$P=6\cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4}=\frac{3\sqrt{3}{a}^2}{2}$

---

Weźmy sześciokąt foremny o boku $a=4\text{cm}$. Wtedy:

$r=\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{4\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}\left[\text{cm}\right]$

$R=a=4\left[\text{cm}\right]$

$P=\frac{3\sqrt{3}{a}^2}{2}=\frac{3\sqrt{3}\cdot 4^2}{2}=\frac{3\sqrt{3}\cdot 16}{2}=24\sqrt{3}\left[{\text{cm}}^2\right]$

---

Weźmy sześciokąt foremny, którego promień okręgu opisanego na nim wynosi:

$R=6\text{cm}$

Wtedy:

$a=R=6\left[\text{cm}\right]$

$r=\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{6\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}\left[\text{cm}\right]$

$P=\frac{3\sqrt{3}{a}^2}{2}=\frac{3\sqrt{3}\cdot 6^2}{2}=\frac{3\sqrt{3}\cdot 36}{2}=54\sqrt{3}\left[{\text{cm}}^2\right]$

---

Weźmy sześciokąt foremny, którego promień okręgu wpisanego w ten sześciokąt wynosi:

$r=12\text{cm}$

$\frac{a\sqrt{3}}{2}=12|\cdot \frac{2}{\sqrt{3}}$

$a=\frac{24}{\sqrt{3}}\cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

$a=\frac{24\sqrt{3}}{3}$

$a=8\sqrt{3}\left[\text{cm}\right]$

Wtedy:

$R=a=8\sqrt{3}\left[\text{cm}\right]$

$P=\frac{3\sqrt{3}{a}^2}{2}=\frac{3\sqrt{3}\cdot {\left(8\sqrt{3}\right)}^2}{2}=\frac{3\sqrt{3}\cdot 64\cdot 3}{2}=288\sqrt{3}\left[{\text{cm}}^2\right]$

---

Weźmy sześciokąt foremny o polu:

$P=16{\text{cm}}^2$

Wtedy:

$\frac{3\sqrt{3}{a}^2}{2}=16|\cdot \frac{2}{3\sqrt{3}}$ 

$a^2=\frac{32}{3\sqrt{3}}\cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

$a^2=\frac{32\sqrt{3}}{9}|\sqrt{},a>0$

$a=\sqrt{\frac{32\sqrt{3}}{3}}$  

$a=\frac{\sqrt{16\cdot 2\sqrt{3}}}{3}$

$a=\frac{4\sqrt{2\sqrt{3}}}{3}$

$a=\frac{4\sqrt{\sqrt{4\cdot 3}}}{3}$

$a=\frac{4\sqrt[4]{12}}{3}\left[\text{cm}\right]$

Wtedy:

$R=a=\frac{4\sqrt[4]{12}}{3}\left[\text{cm}\right]$

$r=\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{\frac{4\sqrt[4]{12}}{3}\cdot \sqrt{3}}{2}=\frac{4\sqrt[4]{12}}{3}\cdot \sqrt{3}\cdot \frac{1}{2}=\frac{2}{3}\cdot \sqrt[4]{12}\cdot \sqrt{3}=$

$=\frac{2}{3}\cdot \sqrt[4]{12}\cdot \sqrt[4]{9}=\frac{2}{3}\cdot \sqrt[4]{12\cdot 9}=\frac{2}{3}\cdot \sqrt[4]{108}\left[\text{cm}\right]$

---

$a$	$R$	$r$	$P$
$4\text{cm}$	$4\text{cm}$	$2\sqrt{3}\text{cm}$	$24\sqrt{3}{\text{cm}}^2$
$6\text{cm}$	$6\text{cm}$	$3\sqrt{3}\text{cm}$	$54\sqrt{3}{\text{cm}}^2$
$\frac{4\sqrt[4]{12}}{3}\text{cm}$	$\frac{4\sqrt[4]{12}}{3}\text{cm}$	$\frac{2}{3}\sqrt[4]{108}\text{cm}$	$16{\text{cm}}^2$
$8\sqrt{3}\text{cm}$	$8\sqrt{3}\text{cm}$	$12\text{cm}$	$288\sqrt{3}{\text{cm}}^2$