a)

Dana jest funkcja:

$y=4x^2+6x+3$

Wypiszmy jej współczynniki:

$a=4$

$b=6$

$c=3$

Zapiszmy ją w postaci kanonicznej. W tym celu obliczmy współrzędne wierzchołka paraboli, będącej jej wykresem. Mamy:

$p=-\frac{b}{2a}=-\frac{6}{2\cdot 4}=-\frac{6}{8}=-\frac{3}{4}$

$\Delta =b^2-4ac=6^2-4\cdot 4\cdot 3=36-48=-12$

$q=-\frac{\Delta }{4a}=-\frac{-12}{4\cdot 4}=\frac{12}{16}=\frac{3}{4}$

Zatem otrzymaliśmy, że wykres podanej funkcji ma wierzchołek w punkcie o współrzędnych $\left(-\frac{3}{4},\frac{3}{4}\right)$.

Zapiszmy tę funkcję w postaci kanonicznej:

$y=4{\left(x+\frac{3}{4}\right)}^2+\frac{3}{4}$

---

b)

Dana jest funkcja:

$y=-2x^2+4x+1$

Wypiszmy jej współczynniki:

$a=-2$

$b=4$

$c=1$

Zapiszmy ją w postaci kanonicznej. W tym celu obliczmy współrzędne wierzchołka paraboli, będącej jej wykresem. Mamy:

$p=-\frac{b}{2a}=-\frac{4}{2\cdot \left(-2\right)}=-\frac{4}{-4}=1$

$\Delta =b^2-4ac=4^2-4\cdot \left(-2\right)\cdot 1=16+8=24$

$q=-\frac{\Delta }{4a}=-\frac{24}{4\cdot \left(-2\right)}=-\frac{24}{-8}=3$

Zatem otrzymaliśmy, że wykres podanej funkcji ma wierzchołek w punkcie o współrzędnych $\left(1,3\right)$.

Zapiszmy tę funkcję w postaci kanonicznej:

$y=1{\left(x-1\right)}^2+3$

---

c)

Dana jest funkcja:

$y=\frac{1}{2}{x}^2-x+1$

Wypiszmy jej współczynniki:

$a=\frac{1}{2}$

$b=-1$

$c=1$

Zapiszmy ją w postaci kanonicznej. W tym celu obliczmy współrzędne wierzchołka paraboli, będącej jej wykresem. Mamy:

$p=-\frac{b}{2a}=-\frac{-1}{2\cdot \frac{1}{2}}=-\frac{-1}{1}=1$

$\Delta =b^2-4ac={\left(-1\right)}^2-4\cdot \frac{1}{2}\cdot 1=1-2=-1$

$q=-\frac{\Delta }{4a}=-\frac{-1}{4\cdot \frac{1}{2}}=-\frac{-1}{2}=\frac{1}{2}$

Zatem otrzymaliśmy, że wykres podanej funkcji ma wierzchołek w punkcie o współrzędnych $\left(1,\frac{1}{2}\right)$.

Zapiszmy tę funkcję w postaci kanonicznej:

$y=\frac{1}{2}{\left(x-1\right)}^2+\frac{1}{2}$