a)

Korzystając z twierdzenia o cięciwach, mamy:

$4\cdot x=12\cdot 3$

$4x=36|:4$

$x=9$

---

b)

Przyjmijmy oznaczenia jak na poniższym rysunku:

Zauważmy, że:

$r=\left|DO\right|=3$

Zatem:

$\left|PB\right|=\left|BO\right|-\left|PO\right|=r-1=3-1=2$

Zauważmy następnie, że:

$\left|AP\right|=\left|CP\right|=x$

Korzystając z twierdzenia o cięciwach, mamy:

$\left|PA\right|\cdot \left|PC\right|=\left|PB\right|\cdot \left|PD\right|$

$x\cdot x=\left(3+1\right)\cdot 2$

$x^2=4\cdot 2$

$x^2=8|\sqrt{},x>0$

$x=\sqrt{8}$

$x=\sqrt{4\cdot 2}$

$x=2\sqrt{2}$

---

c)

Przyjmijmy oznaczenia jak na poniższym rysunku:

Zauważmy, że:

$r=\left|AO\right|=\left|CO\right|=5\frac{1}{2}$

Korzystając z twierdzenia o cięciwach, mamy:

$\left|PA\right|\cdot \left|PC\right|=\left|PB\right|\cdot \left|PD\right|$

$\left(5\frac{1}{2}+\left|OP\right|\right)\cdot x=4\cdot 6$

$\left(5\frac{1}{2}+\left(r-x\right)\right)\cdot x=24$

$\left(5\frac{1}{2}+r-x\right)\cdot x=24$

$\left(5\frac{1}{2}+5\frac{1}{2}-x\right)\cdot x=24$

$\left(11-x\right)\cdot x=24$

$11x-x^2=24|-24$

$-x^2+11x-24=0$

$\Delta =11^2-4\cdot \left(-1\right)\cdot \left(-24\right)=121-96=25$

$\sqrt{\Delta }=5$

$x_1=\frac{-11-5}{-2}=\frac{-16}{-2}=8$

$x_2=\frac{-11+5}{-2}=\frac{-6}{-2}=3$

Zauważmy natomiast, że:

$x<r$

$x<5\frac{1}{2}$

Zatem:

$x=3$