a)

Zauważmy, że:

$r_1+r_2=3\frac{1}{2}+4\frac{1}{2}=8$

$\left|r_1-r_2\right|=\left|3\frac{1}{2}-4\frac{1}{2}\right|=\left|-1\right|=1$

Zatem:

$\left|r_1-r_2\right|<\left|O_1{O}_2\right|<r_1+r_2$

Wobec tego są to okręgi przecinające się, czyli istnieją dwie wspólne styczne.

---

b) 

Zauważmy, że:

$r_1+r_2=11+13=24$

Zatem:

$r_1+r_2=\left|O_1{O}_2\right|$

Wobec tego są to okręgi styczne zewnętrznie , czyli istnieją trzy wspólne styczne.

---

c)

Zauważmy, że:

$r_1+r_2=\frac{1}{3}+\frac{1}{2}=\frac{2}{6}+\frac{3}{6}=\frac{5}{6}$

$\left|r_1-r_2\right|=\left|\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right|=\left|\frac{3}{6}-\frac{2}{6}\right|=\left|\frac{1}{6}\right|=\frac{1}{6}$ 

Zatem:

$\left|r_1-r_2\right|=\left|O_1{O}_2\right|$

Wobec tego są to okręgi styczne wewnętrznie, czyli istnieje jedna wspólna styczna.

---

d)  

Zauważmy, że:

$r_1+r_2=\sqrt{2}+\sqrt{3}\approx 1,41+1,73=3,14$

Zatem:

$r_1+r_2<\left|O_1{O}_2\right|$

Wobec tego są to okręgi rozłączne zewnętrznie, czyli istnieją cztery wspólne styczne.