a)

Rysunek pomocniczy:

Z treści zadania wiemy, że obwód tego trójkąta wynosi $28\mathrm{cm}$. Na tej podstawie obliczmy $x$:

$x+2\cdot \left(x-4\right)=28$

$x+2x-8=28$

$3x-8=28$  

$3x=36\mid :3$  

$x=12\left[\text{cm}\right]$  

Zatem:

$x-4=8\left[\text{cm}\right]$  

Obliczmy teraz wysokość $h$. Korzystając z twierdzenia Pitagorasa mamy:

${\left(\frac{1}{2}x\right)}^2+h^2={\left(x-4\right)}^2$  

$6^2+h^2=8^2$  

$36+h^2=64$  

$h^2=28|\sqrt{},h>0$  

$h=\sqrt{28}=2\sqrt{7}$  

Mamy już wszystkie dane, by obliczyć pole tego trójkąta:

$P=\frac{1}{2}xh=\frac{1}{2}\cdot 12\cdot 2\sqrt{7}=12\sqrt{7}\left[{\mathrm{cm}}^2\right]$

---

b)

Rysunek pomocniczy:

Z treści zadania wiemy, że:

$\cos \alpha =\frac{2}{5}$  

czyli:

$\frac{x}{y}=\frac{2}{5}$  

$x=\frac{2}{5}y$  

Skoro mamy już zależność $x$ od $y$, to możemy skorzystać z obwodu:

$2x+2y=28\mid :2$  

$x+y=14$  

$\frac{2}{5}y+y=14$  

$1\frac{2}{5}y=14$

$\frac{7}{5}y=14\mid :\frac{7}{5}$  

$y=14\cdot \frac{5}{7}=10\left[\mathrm{cm}\right]$

Zatem:

$x=\frac{2}{5}y=\frac{2}{5}\cdot 10=4\left[\mathrm{cm}\right]$

Obliczmy teraz wysokość $h$. Korzystając z twierdzenia Pitagorasa mamy:

$x^2+h^2=y^2$  

$4^2+h^2={10}^2$  

$16+h^2=100$  

$h^2=84|\sqrt{},h>0$  

$h=\sqrt{84}=2\sqrt{21}\left[\mathrm{cm}\right]$  

Mamy już wszystkie dane, by obliczyć pole tego trójkąta:

$P=\frac{1}{2}\cdot 2x\cdot h=\frac{1}{2}\cdot 2\cdot 4\cdot 2\sqrt{21}=8\sqrt{21}\left[{\mathrm{cm}}^2\right]$