a)

Oznaczmy mianownik tego ułamka przez $m$, $m$ jest dowolną liczbą różną od zera. Licznik tego ułamka jest równy $10$, zatem ułamek jest postaci $\frac{10}{m}$.

Jeśli licznik ułamka zwiększymy o $20$, a mianownik o $30$, dostaniemy ułamek postaci:

$\frac{10+20}{m+30}$

Z treści zadania wiemy, że po tych operacjach wartość ułamka się nie zmieni. Możemy zatem utworzyć równanie:

$\frac{10}{m}=\frac{10+20}{m+30}$

Dziedzina:

$m\ne 0,m+30\ne 0$  

$m\ne 0,m\ne -30$  

Rozwiążmy to równanie. Pomnóżmy "na krzyż":

$\frac{10}{m}=\frac{30}{m+30}\mid \cdot m\left(m+30\right)$ 

$10\left(m+30\right)=30m$

$10m+300=30m\mid -10m$

$20m=300\mid :20$

$m=\frac{300}{20}=\frac{30}{2}=15$

Odp.: Ten ułamek to $\frac{10}{15}$.  

---

b) 

Oznaczmy mianownik tego ułamka przez $m$, $m$ jest dowolną liczbą różną od zera.

Licznik jest o $2$ mniejszy od mianownika, więc ułamek jest postaci:

$\frac{m-2}{m}$

Po zwiększeniu licznika o $9$ i mianownika o $5$, dostaniemy ułamek postaci:

$\frac{m-2+9}{m+5}$

Taki ułamek jest dwukrotnie większy od poprzedniego. Utwórzmy równanie:

$2\cdot \frac{m-2}{m}=\frac{m-2+9}{m+5}$

Dziedzina:

$m\ne 0,m+5\ne 0$  

$m\ne 0,m\ne -5$   

Rozwiążmy to równanie. Pomnóżmy "na krzyż":

$2\cdot \frac{m-2}{m}=\frac{m+7}{m+5}\mid \cdot m\left(m+5\right)$  

$2\left(m-2\right)\left(m+5\right)=m\left(m+7\right)$  

$2\cdot \left(m^2+5m-2m-10\right)=m^2+7m$  

$2\left(m^2+3m-10\right)=m^2+7m$  

$2m^2+6m-20=m^2+7m\mid -m^2-7m$  

$m^2-m-20=0$  

$\Delta ={\left(-1\right)}^2-4\cdot 1\cdot \left(-20\right)=1+80=81$  

$m_1=\frac{1-9}{2}=\frac{-8}{2}=-4$  

$m_2=\frac{1+9}{2}=\frac{10}{2}=5$  

Gdy  $m=-4$  to jest to ułamek:

$\frac{m-2}{m}=\frac{-4-2}{-4}=\frac{-6}{-4}$

Zauważmy, że jest to ułamek skracalny, zatem warunki zadania nie są spełnione.

Gdy  $m=5$  to jest to ułamek:

$\frac{m-2}{m}=\frac{5-2}{5}=\frac{3}{5}$

Odp.: Szukany ułamek to  $\frac{3}{5}$.  

---

c)

Oznaczmy większą z liczb jako $x$, mniejszą jako $x-3$ (jest o $3$ mniejsza od pierwszej). 

Znamy stosunek tych liczb: 

$\frac{x-3}{x}=\frac{75}{100}$  

$\frac{x-3}{x}=\frac{3}{4}$  

Dziedzina:

$x\ne 0$  

Rozwiążmy to równanie. Pomnóżmy "na krzyż":

$4\left(x-3\right)=3x$

$4x-12=3x\mid -3x$

$x-12=0\mid +12$  

$x=12$  

Zatem otrzymujemy:

$x-3=12-3=9$

Odp.: Te liczby to $12$ i $9$.