a)

Rysunek pomocniczy:

Aby obliczyć pole figury zaznaczonej kolorem, dodamy do siebie pole prostokąta o wymiarach $10\text{mm}\times 30\text{mm}$ oraz pola dwóch trójkątów prostokątnych równoramiennych o przyprostokątnych długości $10\text{mm}$.

Pole prostokąta jest równe iloczynowi długości jego dwóch sąsiednich boków.

Obliczamy pole prostokąta o wymiarach $10\text{mm}\times 30\text{mm}$:

$P_1=10\text{mm}\cdot 30\text{mm}=300{\text{mm}}^2$

Pole trójkąta prostokątnego jest równe połowie iloczynu długości jego przyprostokątnych.

Obliczamy pole trójkąta prostokątnego równoramiennego o przyprostokątnych długości $10\text{mm}$:

$P_2=\frac{10\text{mm}\cdot 10\text{mm}}{2}=\frac{{\cancel{10}}^5\text{mm}\cdot 10\text{mm}}{{\cancel{2}}_1}=50{\text{mm}}^2$

Obliczamy pole figury zaznaczonej kolorem:

$P=P_1+2\cdot P_2=300{\text{mm}}^2+2\cdot 50{\text{mm}}^2=300{\text{mm}}^2+100{\text{mm}}^2=\boxed{400{\text{mm}}^2}$

---

b)

Rysunek pomocniczy:

Aby obliczyć pole figury zaznaczonej kolorem, od pola trapezu o podstawach długości $45\text{mm}$ i $25\text{mm}$ oraz wysokości $20\text{mm}$ odejmiemy pole trapezu o podstawach długości $20\text{mm}$ i $10\text{mm}$ oraz wysokości $10\text{mm}$.

Pole trapezu jest równe połowie iloczynu sumy długości jego podstaw i wysokości.

Obliczamy pole trapezu o podstawach długości $45\text{mm}$ i $25\text{mm}$ oraz wysokości $20\text{mm}$:

$P_1=\frac{\left(45\text{mm}+25\text{mm}\right)\cdot 20\text{mm}}{2}=\frac{70\text{mm}\cdot {\cancel{20}}^{10}\text{mm}}{{\cancel{2}}_1}=700{\text{mm}}^2$

Obliczamy pole trapezu o podstawach długości $20\text{mm}$ i $10\text{mm}$ oraz wysokości $10\text{mm}$:

$P_2=\frac{\left(20\text{mm}+10\text{mm}\right)\cdot 10\text{mm}}{2}=\frac{30\text{mm}\cdot {\cancel{10}}^5\text{mm}}{{\cancel{2}}_1}=150{\text{mm}}^2$

Obliczamy pole figury zaznaczonej kolorem:

$P=P_1-P_2=700{\text{mm}}^2-150{\text{mm}}^2=\boxed{550{\text{mm}}^2}$

---

c)

Rysunek pomocniczy:

Aby obliczyć pole figury zaznaczonej kolorem, dodamy do siebie pole równoległoboku o boku $25\text{mm}$ i wysokości $10\text{mm}$ oraz pole trójkąta o boku $15\text{mm}$ i wysokości $15\text{mm}$.

Pole równoległoboku jest równe iloczynowi długości jego boku i wysokości opuszczonej na ten bok.

Obliczamy pole równoległoboku o boku $25\text{mm}$ i wysokości $10\text{mm}$:

$P_1=25\text{mm}\cdot 10\text{mm}=250{\text{mm}}^2$

Pole trójkąta jest równe połowie iloczynu długości boku i wysokości poprowadzonej do tego boku.

Obliczamy pole trójkąta o boku $15\text{mm}$ i wysokości $15\text{mm}$:

$P_2=\frac{15\text{mm}\cdot 15\text{mm}}{2}=\frac{225{\text{mm}}^2}{2}=112,5{\text{mm}}^2$

Obliczenie pomocnicze:

$\begin{array}{r}\stackrel{2}{1}5\\ \underline{\cdot 15}\\ 75\\ \underline{+15}\\ 225\end{array}$          $\begin{array}{l}\underline{112,5}\\ 225:2\\ \underline{-2}\\ 02\\ \underline{-2}\\ 05\\ \underline{-4}\\ 10\\ \underline{-10}\\ 0\end{array}$

Obliczamy pole figury zaznaczonej kolorem:

$P=P_1+P_2=250{\text{mm}}^2+112,5{\text{mm}}^2=\boxed{362,5{\text{mm}}^2}$

---

d)

Rysunek pomocniczy:

Aby obliczyć pole figury zaznaczonej kolorem, od pola prostokąta o wymiarach $30\text{mm}\times 35\text{mm}$ odejmiemy pola dwóch trójkątów o boku $10\text{mm}$ i wysokości $15\text{mm}$.

Pole prostokąta jest równe iloczynowi długości jego dwóch sąsiednich boków.

Obliczamy pole prostokąta o wymiarach $30\text{mm}\times 35\text{mm}$:

$P_1=30\text{mm}\cdot 35\text{mm}=1050{\text{mm}}^2$

Obliczenie pomocnicze:

$3\cdot 35=3\cdot \left(30+5\right)=90+15=105$

Pole trójkąta jest równe połowie iloczynu długości boku i wysokości poprowadzonej do tego boku.

Obliczamy pole trójkąta o boku $10\text{mm}$ i wysokości $15\text{mm}$:

$P_2=\frac{10\text{mm}\cdot 15\text{mm}}{2}=\frac{{\cancel{10}}^5\text{mm}\cdot 15\text{mm}}{{\cancel{2}}_1}=75{\text{mm}}^2$

Obliczenie pomocnicze:

$5\cdot 15=5\cdot \left(10+5\right)=50+25=75$

Obliczamy pole figury zaznaczonej kolorem:

$P=P_1-2\cdot P_2=1050{\text{mm}}^2-2\cdot 75{\text{mm}}^2=1050{\text{mm}}^2-150{\text{mm}}^2=\boxed{900{\text{mm}}^2}$

---

e)

Rysunek pomocniczy:

Aby obliczyć pole figury zaznaczonej kolorem, od pola trapezu o podstawach długości $55\text{mm}$ i $15\text{mm}$ oraz wysokości $25\text{mm}$ odejmiemy pole prostokąta o wymiarach $10\text{mm}\times 15\text{mm}$.

Pole trapezu jest równe połowie iloczynu sumy długości jego podstaw i wysokości.

Obliczamy pole trapezu o podstawach długości $55\text{mm}$ i $15\text{mm}$ oraz wysokości $25\text{mm}$:

$P_1=\frac{\left(55\text{mm}+15\text{mm}\right)\cdot 25\text{mm}}{2}=\frac{{\cancel{70}}^{35}\text{mm}\cdot 25\text{mm}}{{\cancel{2}}_1}=875{\text{mm}}^2$

Obliczenie pomocnicze:

$\begin{array}{r}\stackrel{1}{\stackrel{2}{3}}5\\ \underline{\cdot 25}\\ 175\\ \underline{+70}\\ 875\end{array}$

Pole prostokąta jest równe iloczynowi długości jego dwóch sąsiednich boków.

Obliczamy pole prostokąta o wymiarach $10\text{mm}\times 15\text{mm}$:

$P_2=10\text{mm}\cdot 15\text{mm}=150{\text{mm}}^2$

Obliczamy pole figury zaznaczonej kolorem:

$P=P_1-P_2=875{\text{mm}}^2-150{\text{mm}}^2=\boxed{725{\text{mm}}^2}$

---

f)

Rysunek pomocniczy:

Aby obliczyć pole figury zaznaczonej kolorem, dodamy do siebie: pole trapezu prostokątnego o podstawach długości $20\text{mm}$ i $10\text{mm}$ oraz wysokości $5\text{mm}$, pole trójkąta o boku $20\text{mm}$ i wysokości $25\text{mm}$, pole trójkąta o boku $10\text{mm}$ i wysokości $25\text{mm}$, pole trójkąta o boku $5\text{mm}$ i wysokości $20\text{mm}$.

Pole trapezu jest równe połowie iloczynu sumy długości jego podstaw i wysokości.

Obliczamy pole trapezu o podstawach długości $20\text{mm}$ i $10\text{mm}$ oraz wysokości $5\text{mm}$:

$P_1=\frac{\left(20\text{mm}+10\text{mm}\right)\cdot 5\text{mm}}{2}=\frac{{\cancel{30}}^{15}\text{mm}\cdot 5\text{mm}}{{\cancel{2}}_1}=75{\text{mm}}^2$

Obliczenie pomocnicze:

$15\cdot 5=\left(10+5\right)\cdot 5=50+25=75$

Pole trójkąta jest równe połowie iloczynu długości boku i wysokości poprowadzonej do tego boku.

Obliczamy pole trójkąta o boku $20\text{mm}$ i wysokości $25\text{mm}$:

$P_2=\frac{20\text{mm}\cdot 25\text{mm}}{2}=\frac{{\cancel{20}}^{10}\text{mm}\cdot 25\text{mm}}{{\cancel{2}}_1}=250{\text{mm}}^2$

Obliczamy pole trójkąta o boku $10\text{mm}$ i wysokości $25\text{mm}$:

$P_3=\frac{10\text{mm}\cdot 25\text{mm}}{2}=\frac{{\cancel{10}}^5\text{mm}\cdot 25\text{mm}}{{\cancel{2}}_1}=125{\text{mm}}^2$

Obliczenie pomocnicze:

$5\cdot 25=5\cdot \left(20+5\right)=100+25=125$

Obliczamy pole trójkąta o boku $5\text{mm}$ i wysokości $20\text{mm}$:

$P_4=\frac{5\text{mm}\cdot 20\text{mm}}{2}=\frac{5\text{mm}\cdot {\cancel{20}}^{10}\text{mm}}{{\cancel{2}}_1}=50{\text{mm}}^2$

Obliczamy pole figury zaznaczonej kolorem:

$P=P_1+P_2+P_3+P_4=\underline{75{\text{mm}}^2}+250{\text{mm}}^2\underline{+125{\text{mm}}^2}+50{\text{mm}}^2=$

$=\underline{200{\text{mm}}^2}+300{\text{mm}}^2=\boxed{500{\text{mm}}^2}$