Dany jest trójkąt prostokątny: W powyższym trójkącie możemy w następujący sposób zdefiniować funkcje trygonometryczne: $\sin \alpha =\frac{a}{c}$ $\cos \alpha =\frac{b}{c}$ $\mathrm{tg}\alpha =\frac{a}{b}$ $\mathrm{ctg}\alpha =\frac{b}{a}$

---

a)

$c=15,\sin \alpha =\frac{3}{5}$

Korzystając z definicji funkcji trygonometrycznych obliczmy długość boku $a$:

$\frac{a}{c}=\sin \alpha$

$\frac{a}{15}=\frac{3}{5}$

$a=\frac{3}{5}\cdot 15$

$a=9$

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa obliczmy długość boku $b$ w tym trójkącie:

$a^2+b^2=c^2$

$9^2+b^2=15^2$

$81+b^2=225$

$b^2=225-81$

$b^2=144$

$b=12$

---

b)

$a=14,\sin \beta =\frac{24}{25}$

Korzystając z definicji funkcji trygonometrycznych możemy zapisać, że:

$\frac{b}{c}=\sin \beta$

$\frac{b}{c}=\frac{24}{25}$

$b=\frac{24}{25}c$

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa obliczmy długość boku $c$ w tym trójkącie:

$a^2+b^2=c^2$

$14^2+{\left(\frac{24}{25}c\right)}^2=c^2$

$196+\frac{576}{625}{c}^2=c^2$

$c^2-\frac{576}{625}{c}^2=196$

$\frac{49}{625}{c}^2=196$

$c^2=196\cdot \frac{625}{49}$

$c^2=4\cdot 625$

$c^2=2500$

$c=50$

Wyznaczmy długość boku $b$:

$b=\frac{24}{25}\cdot 50=24\cdot 2=48$

---

c)

$b=\sqrt{6}+\sqrt{2},\mathrm{tg}\beta =2+\sqrt{3}$

Korzystając z definicji funkcji trygonometrycznych obliczmy długość boku $a$:

$\frac{b}{a}=\mathrm{tg}\beta$

$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{a}=2+\sqrt{3}$

$\left(2+\sqrt{3}\right)a=\sqrt{6}+\sqrt{2}$

$a=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2+\sqrt{3}}\cdot \frac{2-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}$

$a=\frac{\left(\sqrt{6}+\sqrt{2}\right)\left(2-\sqrt{3}\right)}{2^2-\sqrt{3^2}}$

$a=\frac{2\sqrt{6}-\sqrt{18}+2\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4-3}$

$a=\sqrt{6}-3\sqrt{2}+2\sqrt{2}$

$a=\sqrt{6}-\sqrt{2}$

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa obliczmy długość boku $c$ w tym trójkącie:

$a^2+b^2=c^2$

${\left(\sqrt{6}-\sqrt{2}\right)}^2+{\left(\sqrt{6}+\sqrt{2}\right)}^2=c^2$

$c^2={\sqrt{6}}^2-2\cdot \sqrt{6}\cdot \sqrt{2}+{\sqrt{2}}^2+{\sqrt{6}}^2+2\cdot \sqrt{6}\cdot \sqrt{2}+{\sqrt{2}}^2$

$c^2=6+2+6+2$

$c^2=16$

$c=4$

---

d)

$c=\sqrt{13},\mathrm{tg}\alpha =1,5$

Korzystając z definicji funkcji trygonometrycznych możemy zapisać, że:

$\frac{a}{b}=\mathrm{tg}\alpha$

$\frac{a}{b}=1,5$

$a=1,5b$

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa obliczmy długość boku $b$ w tym trójkącie:

$a^2+b^2=c^2$

${\left(1,5b\right)}^2+b^2={\sqrt{13}}^2$

$2,25b^2+b^2=13$

$3,25b^2=13$

$b^2=\frac{13}{3,25}$

$b^2=4$

$b=2$

Wyznaczmy długość boku $a$:

$a=1,5\cdot 2=3$