Przyjmujemy, że wymiary prostopadłościanu z treści zadania są wyrażone w centymetrach.

Dany jest pewien prostopadłościan, którego wysokość jest równa $3$. Oznaczamy długości boków podstawy tego prostopadłościanu przez $x$ i $y$. Omawiany prostopadłościan przedstawiono na poniższym rysunku.

Zgodnie z treścią zadania, obwód podstawy tego prostopadłościanu jest równy $16$. Spełnione jest więc równanie

$2x+2y=16|:2$

$x+y=8$

$y=8-x$

Obliczamy następnie pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu. Możemy je obliczyć ze wzoru

$P_c=2\left(ab+bc+ac\right)$

Długości krawędzi prostopadłościanu z treści zadania to: $3$, $x$ oraz $8-x$. Możemy zatem zapisać jego pole powierzchni całkowitej za pomocą funkcji $P$ określonej wzorem:

$P\left(x\right)=2\left(3x+x\left(8-x\right)+3\left(8-x\right)\right)$

$P\left(x\right)=2\left(3x+8x-x^2+24-3x\right)$

$P\left(x\right)=2\left(-x^2+8x+24\right)$

$P\left(x\right)=-2x^2+16x+48$

Ponieważ liczby $x$ i $y$ stanowią długości pewnych odcinków, muszą przyjmować wartości dodatnie. Spełnione są więc nierówności $x>0$ oraz $8-x>0$. Wnioskujemy zatem, że dziedziną funkcji $P$ jest przedział $\left(0,8\right)$.

Wyznaczamy następnie argument $x$, dla którego pole powierzchni prostopadłościanu jest możliwie największe. Należy więc wyznaczyć największą wartość funkcji $P$ osiąganą w przedziale $\left(0,8\right)$.

Wyznaczamy pierwszą współrzędną wierzchołka paraboli.

$p=\frac{-b}{2a}=\frac{-16}{2\cdot \left(-2\right)}=\frac{-16}{-4}=4$

Ponieważ $4\in \left(0,8\right)$ oraz ramiona paraboli są skierowane w dół, największa wartość funkcji $P$ jest osiągana dla $x=4$.

Wyznaczamy jeszcze wartość liczby $y$.

$y=8-x=8-4=4$

Obliczamy następnie objętość tego prostopadłościanu. Korzystamy ze wzoru 

$V=a\cdot b\cdot c$

$V=3\cdot 4\cdot 4=48[{\text{cm}}^3]$

Odpowiedź: Wymiary podstawy prostopadłościanu o największym możliwym polu powierzchni całkowitej to $4\text{cm}\times 4\text{cm}$. Objętość tego prostopadłościanu jest równa $48{\text{cm}}^3$.