Dane są nierówności

$x>\sqrt{2}x-1$

oraz

$\sqrt{3}x>x+1$

Rozwiązujemy pierwszą nierówność.

$x>\sqrt{2}x-1$

$x-\sqrt{2}x>-1$

$x\left(1-\sqrt{2}\right)>-1|:(1-\sqrt{2})$

Ponieważ liczba $1-\sqrt{2}$ jest liczbą ujemną, to obustronnie dzieląc powyższą nierówność przez tę liczbę należy zmienić znak nierówności na przeciwny.

$x<\frac{-1}{1-\sqrt{2}}$

$x<\frac{-1}{1-\sqrt{2}}\cdot \frac{1+\sqrt{2}}{1+\sqrt{2}}$

$x<\frac{-1\left(1+\sqrt{2}\right)}{\left(1-\sqrt{2}\right)\left(1+\sqrt{2}\right)}$

$x<\frac{-1\left(1+\sqrt{2}\right)}{1^2-{\left(\sqrt{2}\right)}^2}$

$x<\frac{-1\left(1+\sqrt{2}\right)}{1-2}$

$x<\frac{-1\left(1+\sqrt{2}\right)}{-1}$

$x<1+\sqrt{2}$

Rozwiązujemy drugą nierówność.

$\sqrt{3}x>x+1$

$\sqrt{3}x-x>1$ 

$x\left(\sqrt{3}-1\right)>1|:(\sqrt{3}-1)>0$

$x>\frac{1}{\sqrt{3}-1}$

$x>\frac{1}{\sqrt{3}-1}\cdot \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}+1}$

$x>\frac{\sqrt{3}+1}{\left(\sqrt{3}-1\right)\left(\sqrt{3}+1\right)}$

$x>\frac{\sqrt{3}+1}{{\left(\sqrt{3}\right)}^2-1^2}$

$x>\frac{\sqrt{3}+1}{3-1}$

$x>\frac{\sqrt{3}+1}{2}$

Należy wykazać, że istnieje tylko jedna liczba całkowita spełniająca jednocześnie nierówności

$x<1+\sqrt{2}$

oraz

$x>\frac{\sqrt{3}+1}{2}$

Szukamy więc liczby całkowitej $x$ spełniającej warunek

$x\in \left(\frac{\sqrt{3}+1}{2},1+\sqrt{2}\right)$ 

Stosując przybliżenie pierwiastków, możemy zapisać 

$\frac{\sqrt{3}+1}{2}\approx \frac{1,73+1}{2}=1,365$

oraz

$1+\sqrt{2}\approx 1+1,41=2,41$

Wnioskujemy, że jedyną liczbą całkowitą spełniającą obie podane nierówności jest $2$. Wobec tego istnieje tylko jedna liczba całkowita o szukanej własności, co należało wykazać.