a)

Dane są zbiory

$A=\left(1,3\right)\cup \left[4,5\right]$

oraz

$B=\left(2,\infty \right)$

Zaznaczono je na poniższym rysunku.

Aby określić ile liczb postaci $\frac{1}{2}k$, gdzie $k$ jest liczbą całkowitą, należy jednocześnie do zbioru $A$ i do zbioru $B$, wyznaczmy najpierw część wspólną zbiorów $A$ i $B$. Otrzymamy wtedy:

$A\cap B=\left(2,3\right)\cup \left[4,5\right]$

Zauważmy, że krańce rozpatrywanych przedziałów możemy zapisać w postaci ułamków, których mianowniki są równe $2$.

Możemy zapisać zbiór $A\cap B$ w postaci

$A\cap B=\left(\frac{4}{2},\frac{6}{2}\right)\cup \left[\frac{8}{2},\frac{10}{2}\right]$

Po bezpośrednim sprawdzeniu wnioskujemy, że liczby $\frac{5}{2},\frac{8}{2},\frac{9}{2}$ i $\frac{10}{2}$ należą do zbioru $A\cap B$.

Odpowiedź:

Do zbiorów $A$ i $B$ jednocześnie należą dokładnie $4$ liczby postaci $\frac{1}{2}k$.

---

b)

Dane są zbiory

$A=\left(-2,\infty \right)$

oraz

$B=\left[-1,1\right)\cup \left(2,3\right)$

Zaznaczono je na poniższym rysunku.

Częścią wspólną zbiorów $A$ i $B$ jest

$A\cap B=\left[-1,1\right)\cup \left(2,3\right)$

Zapisując krańce przedziałów w postaci ułamków o mianownikach równych $2$ otrzymamy:

$A\cap B=\left[-\frac{2}{2},\frac{2}{2}\right)\cup \left(\frac{4}{2},\frac{6}{2}\right)$

Liczbami postaci $\frac{1}{2}k$ należącymi do zbioru $A\cap B$ są $-\frac{2}{2},-\frac{1}{2},\frac{0}{2},\frac{1}{2}$ oraz $\frac{5}{6}$.

Odpowiedź:

Jest dokładnie $5$ liczb postaci $\frac{1}{2}k$ należących jednocześnie do zbioru $A$ i do zbioru $B$.

---

c)

Dane są zbiory

$A=\left(-1,0\right]$

oraz

$B=[-2,2)\cup \left(3,5\right)$

Zaznaczono je na poniższym rysunku.

Częścią wspólną zbiorów $A$ i $B$ jest

$A\cap B=\left(-1,0\right]$

Możemy zapisać

$A\cap B=\left(-\frac{2}{2},\frac{0}{2}\right]$

Wnioskujemy, że zbiór $A\cap B$ zawiera dokładnie dwie liczby postaci $\frac{1}{2}k$, są to $-\frac{1}{2}$ oraz $\frac{0}{2}$.

Odpowiedź:

Są dokładnie $2$ liczby postaci $\frac{1}{2}k$ należące jednocześnie do zbioru $A$ i do zbioru $B$.

---

d)

Dane są zbiory

$A=\left[1,6\right]$

oraz

$B=\left(2,3\right]\cup \left[4,5\right]$

Zaznaczono je na poniższym rysunku.

Częścią wspólną zbiorów $A$ i $B$ jest

$A\cap B=\left(2,3\right]\cup \left[4,5\right]$

Zapiszmy zbiór $A\cap B$ w ten sposób, żeby krańce przedziałów były ułamkami o mianowniku równym $2$. Otrzymamy:

$A\cap B=\left(\frac{4}{2},\frac{6}{2}\right]\cup \left[\frac{8}{2},\frac{10}{2}\right]$

Do zbioru $A\cap B$ należą liczby $\frac{5}{2},\frac{6}{2},\frac{8}{2},\frac{9}{2},\frac{10}{2}$. 

Odpowiedź:

Jest dokładnie $5$ liczb postaci $\frac{1}{2}k$, które należą jednocześnie do zbioru $A$ oraz do zbioru $B$.