Wzory skróconego mnożenia Dla dowolnych liczb $a$ i $b$ zachodzi: ${\left(a+b\right)}^2=a^2+2ab+b^2$

---

Chcemy udowodnić, że dla liczby naturalnej $n$ liczba

${\left(2n+1\right)}^2-1$

jest podzielna przez $8$. Wykonajmy przekształcenia, korzystając ze wzoru skróconego mnożenia:

${\left(2n+1\right)}^2-1=4n^2+4n+1-1=4n^2+4n=4n\left(n+1\right)$

Zwróćmy uwagę, że liczby $n$ i $n+1$ są kolejnymi liczbami naturalnymi - to oznacza, że dokładnie jedna z nich jest podzielna przez $2$. Stąd, iloczyn $n\left(n+1\right)$ jest podzielny przez $2$, zatem liczba $4n\left(n+1\right)$ jest podzielna przez $4\cdot 2=8$, co należało udowodnić.